Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого порядка

 

Дано:

Шифр периодического сигнала s₁ ─ 4 из табл. 3[1];

 

Рис. 1

 

После подстановки значений параметров и масштабирования, получаем:

 

Рис. 2

 

Длительность периода ─ Т = 0,001 с = 1000 мкс ;

Соотношение между периодом и длительностью импульса ─ Т = 3τ

Соотношение параметров цепи и сигнала:

 

 

Шифр цепи – 2 из табл. 4[1];

 

Рис. 3

 

Значения сопротивлений из табл. 1[1] – R₁ = 2R; R₂ = R

Задание:

Рассчитать и построить в масштабе АЧХ и ФЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей в диапазоне от нуля до 10 кГц, полагая (по шкале абсцисс сделать градуировку частоты в кГц и в безразмерных величинах wt_ц);

Рассчитать и построить в масштабе переходную и импульсную характеристики цепей от нуля до t_max = 3t_ц (по шкале абсцисс сделать градуировку времени в мкс и в безразмерных величинах t/t_ц);

Проверить выполнение предельных соотношений между частотными и импульсными характеристиками.

Рассчитать спектр амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s₁(t).

Построить с учетом масштаба на общей спектрограмме спектры амплитуд и фаз входного и выходного сигналов при действии сигнала s₂(t).

Дать представление входного сигнала с помощью функций Хевисайда.

Получить динамическое представление отклика заданной цепи на действие сигнала s₂(t)(с помощью переходных характеристик).

Изобразить отклик цепи на интервале времени от нуля до t_max, в три раза превышающем длительность воздействия сигнала s₂(t) .

Сделать выводы по результатам проведенного анализа.

Расчет частотных характеристик интегрирующей и дифференцирующей цепей.

Выполнение пунктов 1-3 задания оформляем в виде таблицы.

 

Табл. 1 – Анализ дифференцирующей и интегрирующей цепей.

Дифференцирующая цепь	Интегрирующая цепь
Рис. 4	Рис. 5
Вводим оператор дифференцирования р, такой, что
Передаточный коэффициент цепи:	Передаточный коэффициент цепи:
Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на jw

 

После анализа цепей находим частотные характеристики.

 

Табл. 2 – Частотные характеристики цепей

Дифференцирующая цепь	Интегрирующая цепь
Амплитудно-частотная (АЧХ)
Фазочастотная (ФЧХ)
f,Гц 0 100 700 2000 5000 10000 w,рад/с 0 628,3 4398,2 12566,4 31415,9 62831,9 wtц,рад 0,000 0,043 0,303 0,866 2,165 4,329 К(w) 0,000 0,262 0,885 0,984 0,997 ~ 1 j(w),рад -1,57 -1,31 -0,48 -0,18 -0,07 ~0 j(w),град -90 -74,8 -27,7 -10,4 -4,2 ~0	f,Гц 0 100 700 2000 5000 10000 w,рад/с 0 628,3 4398,2 12566,4 31415,9 62831,9 wtц,рад 0,000 0,043 0,303 0,866 2,165 4,329 К(w) 1 0,96 0,46 0,18 0,07 ~ 0 j(w),рад 0,00 -0,27 -1,09 -1,39 -1,50 ~ -1,57 j(w),град 0 -15,2 -62,3 -79,6 -85,8 ~ -90
Рис. 6. АЧХ ДЦ	Рис. 7. АЧХ ИЦ
Рис. 8. ФЧХ ДЦ	Рис. 9. ФЧХ ИЦ

 

Расчет временных характеристик дифференцирующей и интегрирующей цепей.

Находим временные характеристики операторным методом, пользуясь значением операторного коэффициента найденного в пункте 1.

 

Табл. 3 – Временные характеристики цепей

Дифференцирующая цепь	Интегрирующая цепь
Импульсные
Переходные
t,мкс 0 200 500 700 1000 1298,7 t/ τц 0 0,462 1,155 1,617 2,31 3 h(t) -2310 -1455,3 -727,8 -458,52 -229,29 ~ 0 g(t) 1 0,63 0,32 0,20 0,10 ~ 0	t,мкс 0 200 500 700 1000 1298,7 t/ τц 0 0,462 1,155 1,617 2,31 3 h(t) 2310 1455,35 727,78 458,52 229,29 ~ 0 g(t) 0 0,37 0,68 0,80 0,90 ~ 1
Рис. 10. ИХ ДЦ	Рис. 11 ИХ ИЦ
Рис. 12. ПХ ДЦ	Рис. 13. ПХ ИЦ

 

Проверка соотношений между частотными и временными характеристиками дифференцирующей и интегрирующей цепей.

Предельные соотношения

 

 

Табл. 4 – Предельные соотношения

Дифференцирующая цепь	Интегрирующая цепь

 

Расчет спектра амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s₁(t).

По известной формуле из теории четырехполюсников находим передаточный коэффициент заданной цепи:

 

 

Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на jw

 

 

Найдем спектральную плотность непериодического сигнала на входе(s₂(t) ) и выходе (s_2в(t)) цепи, соответствующему периодическому сигналу s₁(t) на протяжении одного периода.

Спектральная плотность непериодического сигнала s₂(t)(см. к.р.№1):

 

 

Спектральную плотность выходного сигнала s_2в(t) найдем по формуле:

 

 

Учитывая, что

 

 и ,

а также

 

Учитывая, что: или , получаем:

Спектр амплитуд выходного периодического сигнала s_1В(t) :

 

 

Спектр фаз:

 

 

Табл. 6 – Спектры входного и выходного периодического сигналов

n
0	A0=|ao/2|=0,667	1	A0=|ao/2|=0,667	1,04575
1	0,551	0	0,361	-0,162
2	0,276	0	0,130	-0,152
3	0	–	0	–
4	0,138	-1	0,054	-1,102
5	0,110	-1	0,042	-1,085
6	0	–	0	–
7	0,079	0	0,029	-0,063
8	0,069	0	0,026	-0,055
9	0	–	0	–
10	0,055	-1	0,021	-1,045

 

Построение спектров амплитуд и фаз входного(s₂(t) ) и выходного(s_2в(t)) непериодического сигналов

В соответствии с пунктом 2, имеем:

Амплитудные спектры

 

 

Учитываем, что при w=0

 

 

Амплитуда – четная функция частоты

Фазные спектры

 

 

Где функция sign(w)=1 при w>0 и sign(w)=-1 при w<0

Фаза – нечетная функция частоты

 

Табл. 7 – Спектры входного и выходного непериодического сигналов

-10	0,0276	1	0,0094	1,04575
-9,75	0	–	0	–
-9,375	0,0184	0	0,0063	0,048648
-9	0	–	0	–
-8,625	0,0200	1	0,0068	1,052634
-8,25	0	–	0	–
-7,5	0,0849	0	0,0294	0,059951
-6,75	0	–	0	–
-6,375	0,0270	1	0,0095	1,069491
-6	0	–	0	–
-5,625	0,0306	0	0,0109	0,077593
-5,25	0	–	0	–
-4,5	0,1415	1	0,0518	1,093529
-3,75	0	–	0	–
-3,375	0,0510	0	0,0199	0,115996
-3	0	–	0	–
-2,625	0,0656	1	0,0275	1,135528
-2,25	0	–	0	–
-1,5	0,4244	0	0,2259	0,164845
-0,75	0	–	0	–
-0,375	0,4594	1	0,4151	1,096523
0	0,6667	–	0,6667	–
0,375	0,4594	-1	0,4151	-1,096523
0,75	0	–	0	–
1,5	0,4244	0	0,2259	-0,164845
2,25	0	–	0	–
2,625	0,0656	-1	0,0275	-1,135528
3	0	–	0	–
3,375	0,0510	0	0,0199	-0,115996
3,75	0	–	0	–
4,5	0,1415	-1	0,0518	-1,093529
5,25	0	–	0	–
5,625	0,0306	0	0,0109	-0,077593
6	0	–	0	–
6,375	0,0270	-1	0,0095	-1,069491
6,75	0	–	0	–
7,5	0,0849	0	0,0294	-0,059951
8,25	0	–	0	–
8,625	0,0200	-1	0,0068	-1,052634
9	0	–	0	–
9,375	0,0184	0	0,0063	-0,048648
9,75	0	–	0	–
10	0,0276	-1	0,0094	-1,04575

 

Рис. 14 – Амплитудный спектр входного и выходного периодического сигналов.

Рис. 15 – Фазовый спектр входного и выходного непериодического сигналов.

 

Представление входного непериодического s₂(t) с помощью единичной функции s(t) (функции Хевисайда).

Входной сигнал является суммой функций Хевисайда, сдвинутых по временной оси и умноженных на амплитуду сигнала Е.

 

 

Рис. 16 – Функции Хевисайда

 

Динамическое представление отклика заданной цепи на действие сигнала s₂(t).

Заданная цепь является суммой интегрирующего и дифференцирующего звеньев.

 

 

Находим переходную характеристику заданной цепи

 

 

 Так как переходная функция является откликом цепи на единичный сигнал, то воспользовавшись линейностью преобразований Лапласа, получаем отклик заданной цепи на непериодический сигнал s₂(t).

 

, где

 

Динамическое представление отклика:

 

 

Табл. 8 – Отклик заданной цепи на действие непериодического сигнала

t/T	-1/2-0	-1/2+0	-1/3	-1/6-0	-1/6+0	0	1/6-0	1/6+0	1/3	1/2-0	1/2+0	2/3	5/6	1	7/6	4/3	3/2	5/3	11/6	2
	0	-0,33307	-0,6912	-0,84558	-0,85702	-0,9338	-0,9669	-0,96935	-0,98581	-0,9929	-0,99343	-0,99696	-0,99859	-0,99935	-0,9997	-0,99986	-0,99994	-0,99997	-0,99999	-1
	0	0	0	0	0,33328	0,6913	0,845627	0,857068	0,933821	0,966905	0,969358	0,985812	0,993431	0,996958	0,998592	0,999348	0,999698	0,99986	0,999935	1
	0	0	0	0	0	0	0	-0,33335	-0,69133	-0,84564	-0,85708	-0,93383	-0,96936	-0,98581	-0,99343	-0,99696	-0,99859	-0,99935	-0,9997	-1
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,333729	0,691508	0,857164	0,933865	0,969379	0,985822	0,993435	0,99696	0,998593	1
	0	-0,33307	-0,6912	-0,84558	-0,52374	-0,2425	-0,12127	-0,44563	-0,74332	-0,87164	-0,54743	-0,25347	-0,11736	-0,05434	-0,02516	-0,01165	-0,00539	-0,0025	-0,00116	0

 

Рис. 17 – Изображение входного непериодического сигнала s₂ и отклик цепи на него.

 

Выводы.

Анализ линейной цепи облегчается, тем, что передаточный коэффициент заданной цепи можно представить в виде линейной комбинации передаточных коэффициентов интегрирующей и дифференцирующей цепей.

В этом случае можно достаточно просто находить отклик цепи на сигнал, представляя его как линейную комбинацию откликов элементарных цепей.

При прохождении сигнала через линейную цепь нули и точки экстремума его амплитудного и фазного спектров не меняются. Меняется лишь само значение экстремумов амплитудного спектра.

Представление прямоугольно импульсных сигналов с помощью функции Хевисайда позволяет достаточно просто рассчитать отклик цепи, как линейную комбинацию откликов на единичную функцию включения.

Операторный метод и теория обобщенных функций дает достаточно мощный аппарат для исследования цепей и сигналов.

Контрольная работа №3