Нормальная ширина щели

Каждая дифракционная решётка характеризуется своей аппаратной функцией, то есть зависимостью ширины изображения входной щели от ширины самой щели. Интересно найти зависимость ширины изображения щели  от ширины входной щели . В [6, стр.29] такая зависимость найдена (см. рис.3.2). Пропорциональность между  и  наблюдается лишь при широких щелях. Уменьшение  приводит к уменьшению  лишь до определённых значений ширин . При дальнейшем уменьшении ширины щели ( < ) ширина изображения остаётся постоянной и происходит лишь уменьшение освещённости изображения. Величина  называется нормальной шириной входной щели. Нормальная ширина щели это такая величина входной щели, когда её геометрическое изображение в фокальной плоскости прибора равно центральной части главного дифракционного максимума в этой же плоскости. При ширине щели меньше нормальной, изображение, образующееся в фокальной плоскости уже не является собственно изображением входной щели, а определяется дифракцией на апертурной диафрагме спектрального прибора. Нормальная ширина входной щели определяется параметрами прибора и равна

где -фокусное расстояние коллимирующего объектива (радиус кривизны вогнутой дифракционной решётки), - ширина диафрагмы (высота вогнутой дифракционной решётки). Ширина изображения щели не может стать меньше дифракционного предела. Поэтому, стремясь получить линии как можно тоньше, бесполезно использовать входную щель меньше нормальной.

Оценим  для решёток МФС-8 и ВМК-1:

)   МФС-8: =30мм, =1м, . Тогда =6,7 мкм

)   ВМК-1: =50мм, =1м, . Тогда =4 мкм

То есть, для того, чтобы не потерять в интенсивности линий нужно брать ширину входной щели заведомо больше , например 15 мкм.

Астигматизм

Вогнутая решётка образует два изображения одной точки, расположенные на одном и том же направлении. Это свидетельствует о том, что вогнутая решётка обладает астигматизмом. Точный расчёт показывает, что один из фокальных астигматических отрезков, расположенный на круге Роуланда на расстоянии r от середины решётки, перпендикулярен к кругу Роуланда (см. рис. 3.3). Другой астигматический отрезок перпендикулярен первому отрезку и проходит от решётки на расстоянии r'. Расстояние между этими двумя отрезками называется астигматической разностью. Наибольший интерес представляет первый отрезок. После простых геометрических преобразований можно получить, что длина этого отрезка

                                                  (3.4)

Видно, что при  и r = R длина астигматического отрезка равна 0. В других точках круга Роуланда всегда имеет место астигматизм. Поскольку в результате астигматизма каждая точка источника изображается на круге Роуланда в виде отрезка конечной длины, это неминуемо приводит к уменьшению освещённости изображения.

В реальных спектральных приборах с вогнутой дифракционной решёткой в качестве источника света используется не точка, а щель конечной высоты, параллельная штрихам решётки. Из-за астигматизма каждая точка щели по её высоте отобразится на круге Роуланда в виде фокального астигматического отрезка длины l. Налагаясь друг на друга, эти отрезки образуют некоторое результирующее распределение интенсивности, представляющее изображение щели (см.рис. 3.4). Пусть входная щель имеет высоту  и ширину . При отсутствии астигматизма, дифракционная решётка, как вогнутое зеркало образовывала бы в точке В безаберрационное изображение щели высотой .

При наличии астигматизма каждая точка изображения щели заменится фокальным отрезком длины , и эти фокальные отрезки для разных её точек наложатся друг на друга.

Рассмотрим случай . Полная длина результирующего изображения равна , а распределение освещённости имеет форму трапеции с верхним основанием . В каждой точке верхнего основания происходит переналожение одного и того же числа астигматических отрезков. Поэтому в пределах верхнего основания освещённость постоянна и равна освещённости стигматического изображения . В данном случае  не зависит от высоты щели, так как с увеличением  число переналагающихся в каждой точке отрезков не увеличится, а увеличится лишь область, где происходит такое переналожение.

При  трапеция вырождается в треугольник с освещённостью в вершине .

При дальнейшем уменьшении щели, то есть при , распределение освещённости опять принимает форму трапеции. В пределах верхнего основания происходит переналожение фокальных отрезков от всех точек щели, и поэтому освещённость зависит от высоты щели, причём она будет меньше . Чем меньше высота щели, тем меньшее число отрезков пересекается в области верхнего основания и тем меньше максимальная освещённость.

Можно показать [6, стр. 289], что  , и что для каждого спектрального прибора с вогнутой сферической дифракционной решёткой можно определить такую минимальную высоту входной щели , при которой  и . Тогда при , а при (см. рис. 2.5)

                                               (3.5)

Оценим  для решётки МФС-8, для которой H=30мм, .

Для , , получаем = 5,8мм. При работе с щелью высотой 2 мм получаем .

Для , , получаем = 6,7мм. При работе с щелью высотой 2 мм получаем .

То есть работа при высоте щели 2 мм в МФС-8 ведёт к уменьшению освещённости.

Таким образом, в реальных приборах с вогнутой дифракционной решёткой астигматизм и величина  значительны. Работа с большими щелями часто практически невозможна, так как высокую щель трудно осветить равномерно. Поэтому работа ведётся со щелями малой высоты , что приводит к уменьшению освещённости ( ), и следовательно, светосилы.

Увеличение размеров дифракционной решётки практически не приводит к увеличению реальной светосилы, так как величины и  пропорциональны (см. формулы (3.4) и (3.5)). Поэтому в спектральных приборах с вогнутой дифракционной решёткой используются решётки относительно небольших размеров (обычно <0.1), в результате чего такие приборы имеют небольшую светосилу.

Наличие астигматизма является существенным недостатком спектральных приборов с вогнутой дифракционной решёткой.

Существует несколько способов уменьшения астигматизма вогнутой решётки [6,7]:

) Установка после входной щели или перед её изображением цилиндрической линзы, изменяющей ход лучей только в вертикальной (сагиттальной) плоскости. Изображение щели при этом становится стигматическим и его освещённость возрастает. Кроме того, в результате совместного действия сферического зеркала решётки и линзы высота изображения щели становится меньше, что приводит к дополнительному увеличению освещённости. При использовании линзы возможна компенсация астигматизма лишь для одной определённой длины волны. Вблизи этой длины волны изображение спектра квазистигматично. При переходе к другой области спектра нужно использовать линзу с другими параметрами.

) Использование асферической вогнутой дифракционной решётки. Стигматическое изображение спектральных линий можно также получить, если нанести штрихи на асферическую, например тороидальную, поверхность с разными радиусами кривизны в меридиональной и сагиттальной плоскостях. Можно показать, что для тороидальной дифракционной решётки существует длина волны, для которой астигматизм отсутствует. Эту длину волны можно изменять, меняя положение щели. Для тороидальной решётки также существует область квазистигматичности, величина которой не превосходит 100 нм.

) Использование вогнутой дифракционной решётки с переменным шагом. Расстояние между штрихами решётки делается изменяющимся по некоторому закону. Подобную решётку можно рассматривать как совокупность дифракционной решётки, сферического зеркала и зонной пластинки Френеля Разность хода между соседними штрихами у неё становится величиной переменной, зависящей от закона изменения расстояния между штрихами  вдоль оси . Этот закон может быть выбран так, чтобы происходила компенсация астигматизма. Можно показать, что компенсации можно достичь при линейном законе изменения величины :

где -расстояние между соседними штрихами у вершины сферы ( =0), а -некоторая константа, которая входит как дополнительный параметр в выражение для разности хода. Величину  можно подобрать так, чтобы для некоторых углов  и  и длины волы  астигматизм отсутствовал [6, стр. 294].

Область квазистигматичности вблизи  оказывается достаточно большой. Фокальная поверхность решётки с переменным шагом уже не является кругом Роуланда, а имеет более сложную форму.