Нормирование параметров и переменных цепи

Пояснительная записка к курсовой работе

 по теории электрических цепей

«Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот»

 

Выполнил: Антонов В.В.

Группа: 3322

Факультет: КТИ

Кафедра: АПУ

 

Вариант: 01

 

Руководитель: Соколов В.Н.

 

Санкт – Петербург

2005

Оглавление

Цель работы................................................................................................................................... 3

Техническое задание..................................................................................................................... 3

Выполнение курсового расчета................................................................................................... 4

1. Нормирование параметров и переменных цепи............................................................... 4

2. Определение передаточной функции цепи ............................................................. 5

3. Расчет частотных характеристик цепи .................................................................. 8

4. Составление уравнений состояния цепи.......................................................................... 10

5. Определение переходной   и импульсной  характеристик............................. 12

6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе............ 17

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия........ 19

8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе............................... 21

10. Определение спектра периодического входного сигнала............................................ 23

11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии............................. 25

Заключение.................................................................................................................................. 27

Список использованной литературы........................................................................................ 28

Цель работы

 

Практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей.

Техническое задание

 

Из [3, стр. 60]: на вход электрической цепи, представленной на Рис. T .1, с момента t = 0 подается импульс напряжения . Реакцией цепи является напряжение . График импульса представлен на Рис. T .2 .

 

Параметры цепи: 114 - , 212 - , 324 - , 423 - , 534 - , 634 - .

 

Параметры импульса: , .

 

В курсовой работе требуется:

 

1. Определить передаточную функцию, частотные и временные характеристики цепи.

2. Исследовать реакцию цепи при воздействии одиночного импульса.

3. Исследовать установившуюся реакцию цепи при воздействии периодической последовательности импульсов.

 

Примечание: при выполнении данной курсовой работы для разного рода аналитических и численных расчетов применялся математический пакет MathCAD 12.

 

Выполнение курсового расчета

 

Нормирование параметров и переменных цепи

 

Нормирование параметров и переменных цепи произведем в целях облегчения процессов вычисления, в которых они используются. Суть нормирования заключается в сближении порядков значений параметров и переменных цепи. Для нормировки будем использовать следующие формулы [4]:

 

   ; , ,

  ; ;

 

где:

 

§ величины с индексом «звездочка» - есть пронормированные величины;

§ величины с индексом «сигма» - это те величины, по которым производится нормировка (базисные величины). Примем базисные величины следующими:

,  (поскольку время импульса имеет размерность «мкс»)
 

 

Произведем нормирование параметров цепи согласно указанным выше условиям (все полученные величины - безразмерные):

 

 

В дальнейшем, в целях упрощения записей, все величины будем полагать пронормированными и поэтому символ «звездочка» в индексе величин указывать не будем.

2. Определение передаточной функции цепи

Согласно [1, стр. 156] передаточной функцией цепи называют отношение изображения реакции к изображению единственного в цепи воздействия при нулевых независимых начальных условиях. В нашем случае передаточная функция цепи имеет вид:

 

 

Для определения передаточной функции построим операторную схему замещения цепи (Рис. 2.1). Проведем машинный расчет передаточной функции цепи:

Проконтролируем полученные результаты способом, описанным в [2, стр. 191]:

 

1. Исходя из физики процесса (экспоненты в реакции должны быть затухающими), корни характеристического полинома цепи должны лежать в левой полуплоскости. Необходимое для этого условие: все коэффициенты полинома имеют один и тот же знак – выполнено. Проверим достаточное условие согласно теореме Гурвица:

Действительно, все представленные выше определители положительны. Следовательно, согласно теореме Гурвица, корни характеристического полинома цепи лежат в левой полуплоскости, а соответствующая им система дифференциальных уравнений - устойчива.

 

2. Рассмотрим эквивалентные схемы замещения исходной цепи на характерных частотах  и  [2] (Рис. 2.2). При  получаем:  (сопротивления нет, поэтому можно заменить данный элемент на короткозамкнутый участок), (бесконечно большое сопротивление – соответствует разрыву цепи). При :  (заменяем на КЗ), (заменяем на холостой ход).

 

 

Случай а  ( ): , , . При этом .

 

Случай б  ( ): , . При этом .

 

Проведенная проверка позволяет говорить о правильности полученного выше результата.

 

 

Нули передаточной функции определяются как корни полинома ее числителя. В нашем случае в числителе находится числовая константа, которая никогда не обратится в ноль. Поэтому можно сказать, что нули нашей передаточной функции находятся в бесконечности.

 

Вычислим теперь полюсы полученной передаточной функции (собственные частоты цепи). Согласно [1, стр. 157] они являются корнями характеристического полинома ее знаменателя. Произведем машинный расчет корней и изобразим их на комплексной плоскости (Рис. 2.3):

 

Оценим практическую длительность переходных процессов: .

3. Расчет частотных характеристик цепи

 

Согласно [3, стр. 31] найдем аналитические выражения для Амплитудно-Частотной, Фазочастотной и Амплитудно-Фазовой  характеристик цепи и постоим их графики (Рис. 3.1, 3.2 и 3.3. соответственно):

 

 

Определим полосу пропускания на уровне: .

Частота среза: , полоса пропускания в нашем случае соответствуют фильтру нижних частот.

 

Если предположить, что спектр входных сигналов попадает в указанную полосу пропускания, ожидаемые изменения амплитуды и времени запаздывания сигналов будут следующими:

 

§ Время запаздывания сигнала на выходе цепи: .

§ Амплитуда выходного сигнала изменится в  раз (уменьшится в два раза).