Элементы R , L , C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током

 

Пусть через каждый элемент протекает синусоидальный ток, описываемый законом:

 

 

Электрическая схема последовательного соединения представлена на рис. 3.1

 

Рис. 3.1. Электрическая схема последовательного RLC соединения

 

Тогда, согласно компонентным уравнениям и с учетом синусоидальности тока получаем:

 

;

;

.

 

Напряжения на элементах в цепи синусоидального тока так же синусоидальны и имеют ту же частоту, но другие амплитуды и начальные фазы. Учитывая стандартную запись напряжения , получаем табл. 3.1:

Табл. 3.1- Напряжение и частота синусоидального тока на R,L,C -элементах

R	L	C

 

Напряжение на сопротивлении совпадает с током по фазе, напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰, напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰. Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:

 

;

;

.

 

На рис. 3.2 можем пронаблюдать поведение тока, напряжения и мощности на каждом элементе в отдельности:

а)

 

б)

 

в)

Рис. 3.2 - Диаграмма изменения мгновенных значений напряжения, тока и мощности для а) сопротивления R, б) индуктивности L, в) емкости С.

 

Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот.

Так как сопротивление R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно [Oм] и [Oм].(Рис. 3.3)

 

Рис.3.3 - Зависимость индуктивного и емкостного сопротивления от угловой частоты ω.

 

Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока - метод комплексных величин или символический метод, но это уже отдельная тема.

Комплексы амплитуд напряжения и тока на элементах R,L,C связаны между собой.

Для сопротивления R: (Рис. 3.4)

Рис. 3.4 - участок цепи с сопротивлением R.

 

, , где U_m=RI_m,, j_u=j_i

 

Перейдем к проекциям вращающихся векторов:

 

,

 =>

 

Так как

 

,

 

Тогда

 

:

 

Для индуктивности L (Рис. 3.5)

 

Рис. 3.5 - Участок цепи с индуктивностью L

,

.

,

j_u=j_i + 90⁰.

 

:  - комплексное сопротивление индуктивности.

комплексное сопротивление индуктивности.

Для емкости C: (Рис. 3.6)

 

Рис. 3.6 - Участок цепи с емкостью С.

 

,

 j_u=j_i - 90⁰.

:  - комплексное сопротивление емкости.

 

Таким образом, для любого элемента в цепи синусоидального тока  - некоторое комплексное число по размерности соответствует сопротивлению, и поэтому его называют комплексом полного сопротивления и обозначают . Тогда:

 

,

,

.

 представляет закон Ома в символической форме.

 

Комплекс полного сопротивления участка пассивной цепи синусоидального тока рассчитывают так же, как в цепи постоянного тока, если вместо элементов участка использовать комплексные сопротивления этих элементов.

 

,

 

где:

 - коэффициент пропорциональности между амплитудными или действующими значениями напряжения и тока на данном элементе;

 показывает на сколько фаза напряжения больше фазы тока на данном элементе.

Иногда строят треугольник сопротивлений. Фактически это и есть изображение комплекса полного сопротивления на комплексной плоскости.

Рис. 3.7 - Изображение комплекса полного сопротивления на комплексной плоскости.

 

Величина , как любое комплексное число, может быть представлена в показательной, тригонометрической или алгебраической форме:

 

,

 

где - вещественная часть комплекса полного сопротивления, ее называют активной составляющей комплекса полного сопротивления;

- мнимая часть комплекса полного сопротивления, ее называют реактивной составляющей комплекса полного сопротивления;

- модуль комплекса полного сопротивления;

 - фаза комплекса полного сопротивления, изменяется в пределах .

Величину обратную комплексу полного сопротивления называют комплексом полной проводимости (КПП):

 

,

где .

Для получения в "буквах" активной и реактивной составляющих комплекса полной проводимости по заданным в "буквах" активной и реактивной составляющим комплекса полного сопротивления:

 

;

 

Таким образом, используя полученные формулы, расчетным путем можно получить фазовые соотношения напряжений и токов RLC - цепи, и, построив диаграммы по этим значениям, наглядно пронаблюдать за поведением напряжений и токов, с учетов сдвигов по фазе.