Решение будем производить методом Лагранжа.Oцениваем шаг

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

По дисциплине «Информатика»

Студента группы КС-31

Кузнецова Дмитрия Олегови ча

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                              2                                            

Задача 1                                                                                                                                             

Постановка задачи                                               

Решение                                                              4      

Задача 2                                                                         

Постановка задачи                                                 

Решение                                                               6

 3.Задача 3                                                                       

Постановка задачи                                                  

Решение                                                              10     

Задача 4                                                                             

Постановка задачи                                                  

Решение                                                              15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ                                      16

ВВЕДЕНИЕ

Основой автоматизации умственного труда человека является широкое внедрение вычислительной техники во все сферы деятельности человека . Применение ЭВМ ускорило процесс математизации науки и техники . Расширяется круг профессий ,для которых математическая грамотность и наличие практических навыков применения ЭВМ становятся необходимыми.

Решение технической или научной задачи включает её математическое описание на языке уравнений, функций .Очень часто математическая формулировка задачи может оказаться непереводимой на язык ЭВМ ,так как ЭВМ выполняет только арифметические действия.    

Численный метод решения задачи –это определённая последовательность операций над числами , язык которого числа и арифметические действия .Численные методы легко реализуются на ЭВМ ,что делает эти методы мощным и универсальным инструментом. Процесс решения инженерной задачи на ЭВМ сложный и длительный .Он включает в себя этапы, требующие от разработчика профессиональной подготовки и грамотности. Для снижения трудоёмкости , на всех типах ЭВМ создан мощный аппарат технологической поддержки работы пользователя ЭВМ. 

Задача 1

Постановка задачи

Необходимо графически определить один корень уравнения . Уточнить корень уравнения с точностью Е=0,001 методом Ньютона. Дано нелинейное уравнение :

tg(ax+b)=x²

где a =0,5 и b =0,2

Решение

Для того ,чтобы определить корень ,преобразуем уравнение к виду :

tg(0.5x+0.2)=x²

Построим графики двух функций :

y₁= tg(0.5x+0.2) и   y₂=x²;

Кривые на рис.1 описаны следующим образом:

1) y₁= tg(0.5x+0.2) функция периодическая ,её значения сведём в таблицу 1.1

                                   Таблица 1.1.

x	-3.1	-3	-2	-1	0	1	2	2.1	2.2
y	-4.45	-2.57	-1.02	-0,3	0,2	0,84	2.57	3.0	3.6

 

2) y₂=x² – парабола

y₂=0 когда x=0

y₂=4 при x=±2

По графику определяем ,что уравнение имеет несколько корней .Для уточнения корня выберем интервал [0,1] .Уточняем корень по формуле Ньютона:

x_n+1= x_n-

Необходимо выбрать начальное значение x₀ , исходя из условия сходимости:

f(x₀)f "(x₀)>0

 

f(x)= tg(0.5x+0.2) – x²

                                                                 

Проверяем условия сходимости для x=0 :

 

 

f(0)f"(0)<0,условие не соблюдается                                                             

Проверяем условие сходимости для x=1.0 :

 

 

f(0)f"(0)>0,условие соблюдается

 

берём за x₀=1

 

и условие:

 

Т=

Решение запишем в виде таблицы:

n	x n	f(x n)	f '(x n)		T<E 10-1
0	1.000000	-0.158000	-1.151000	0.137271	Нет
1	0.862728	-0.013000	-0.976000	0.013119	Нет
2	0.849416	-0.000467	-0.958000	0.000487	Нет
3	0.848929	-0.000009	-0.958000	0.000009	Да
4	0.848920

 

 В результате проделанной работы мы определили один корень уравнения вида tg(0.5x+0.2)=x² графически,а затем уточнили его методом Ньютона и получили

X=0.848929

 

 

Вывод по решению:

В результате проделанной работы мы определили один корень уравнения

Tg(0.5x+0.2)=x² графически, а затем уточнили его методом Ньютона и получили x=0.848929

 

Задача 2

Постановка задачи

Выбрать формулу интерполяции и с её помощью определить значение функции в точке x=0,38.Функция задана в виде таблицы 2.1 ,Степень интерполяционного многочлена равна 3.

Таблица 2.1

0,15	0,860708
0,25	0,778801
0,30	0,740818
0,40	0,670320
0,45	0,637628
0,55	0,576950
0,60	0,548812
0,65	0,522046
0,70	0,496585
0,75	0,472237

Решение

Решение будем производить методом Лагранжа.Oцениваем шаг

h=x_i+1 -x_i

В этой таблице h=const.Для интерполяции функции с произвольно задаными узлами выбираем интерполяционный многочлен Лагранжа:

;

 

Выражения,называемые коэффициентами Лагранжа:

 

 

Далее построим матрицу Лагранжа:

Обозначим произведение строк через ,а произведение элементов главной диагонали через ,тогда :

 

 

 

 

Вычислим её:

 

 

отсюда:

П_n+1=4,00384 ^.10^-9

D₀=7,68488^.10^-6             D₅=1.1475^.10^-8

D₁=-1.84275^.10^-7        D₆= -1.16944^.10^-8

D₂= 4.2525^.10^-8          D₇=2.3625^.10^-8

D₃=2.92313 10^-9            D₈= -8.91^.10^-8

D₄= -7.0875^.10^-9      D₉=7.86713^.10^-7

Далее по формуле:

,

имеем

 

В результате проделанной работы мы произвели интерполяцию функции заданной таблицей 2.1 и получили значение функции в точке х=0,38 y=0,683860.

О справедливости полученного результата мы можем судить из того ,что точка х=0,38 находиться точками х=0,30 и х=0,40 и искомое значение должно находиться между соответствующими значениями этих точек. Полученное значение y=0,683860 находиться в пределах между y(0.30)=0.670320 и y(0.40)=0.740818.

Следовательно решение верно.

Задача 3

Постановка задачи

 

 

Решить систему линейных уравнений:

 

9.3x₁+(1.62+a)x₂+6.1x₃+1.9x₄=-12.65+b;

 

4.92x₁+7.45x₂+(9.7-a)x₃+2.46x₄=10.21;

 

4.77x₁+(6.21+a)x₂+9.04x₃+2.28x₄=13.45;

 

3.21x₁+(2.65-a)x₂+3.69x₃+6.99x₄=-10.35.

 

 

методом Гаусса. Все расчёты ведите с тремя значащими цифрами после запятой.

2)Результаты вычисления прямого хода представьте в виде таблицы с контролем в виде суммирующего столбца. Вычисления обратного хода сделайте подробно, записав все промежуточные вычисления.

Решение

 

Перепишем систему линейных уравнений в виде:

 

9.3x₁+(1.62+0.8)x₂+6.1x₃+1.9x₄=-12.65+3.6;

 

4.92x₁+7.45x₂+(9.7-0.8)x₃+2.46x₄=10.21;

 

4.77x₁+(6.21+0.8)x₂+9.04x₃+2.28x₄=13.45;

 

3.21x₁+(2.65-0.8)x₂+3.69x₃+6.99x₄=-10.35.

 

 

 

9.3x₁+2.42x₂+6.1x₃+1.9x₄=-9.05;

 

4.92x₁+7.45x₂+8.9x₃+2.46x₄=10.21;

 

4.77x₁+7.01x₂+9.04x₃+2.28x₄=13.45;

 

3.21x₁+1.85x₂+3.69x₃+6.99x₄=-10.35.

 

Введём обозначение: или

а₁₅,а₂₅,а₃₅,а₄₅---свободные члены

---суммирующий (контрольный) коэффициент

Прямой ход. Заполнение таблицы:

1.Запишем а_ij в четырёх строках и пяти столбцах раздела 1 таблицы(i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5)

2.Стимулирующие а_i6 запишем в столбце å (столбец контроля)

3.Вычисляем b_1j=a_1j/a₁₁ (j=1,2,3,….6) и запишем в пятой строке раздела 1

4.Вычисляем  и проверяем совпала ли она с b₁₆ c вычисления ведутся с постоянным количеством знаков после запятой). В противном случае проверяем действия пункта 3.

5.Вычисляем b_1ij⁽¹⁾=a_ij-a_i1^.b_1j(i=2,3,4 , j=2,3,….6) и записываем их в в первые три строки раздела 2.

6.Проверка. Сумма элементов каждой строки  и  должен совпасть с указанной в п.4 точностью, иначе надо проверить п.5.

7.Вычисляем    и записываем в четвёртой строке раздела 2

8.Проверка как в п.4.

9.Вычисляем  и записываем в первые две строки раздела 3.

10.Проверка как в п.4.

11.Вычисляем   (j=3,4,5,6) и записываем в третьей строке раздела 3.

12.Проверка как в п.4.

13. Вычисляем  и записываем в первую строку раздела 4.

 

 

	i	ai1	ai2	ai3	ai4	ai5	åai6
1	1 2 3 4	9.3 4.92 4.77 3.21 1.0	2.42 7.45 7.01 1.85 0.2602	6.1 8.9 9.04 3.69 0.6559	1.9 2.46 2.28 6.99 0.2043	-9.05 10.21 13.45 -10.35 -0.9731	10.67 33.94 36.55 5.39 1.1473
2	2 3 4		6.1698 5.7688 1.0148 1.0	5.6730 5.9114 1.5846 0.9195	1.4548 1.3055 6.3342 0.2358	14.9977 18.0918 -7.2263 2.4308	28.2953 31.0775 1.7073 4.5861
3	3 4			0.6069 0.6515 1	-0.0547 6.0949 -0.0901	4.0690 -9.6931 6.7045	4.6212 -2.9467 7.6144
4 5	4	1	1	1	6.1536 1	-14.0611 -2.2850 6,4986 -3.0059 -3.9866	-7.9075 -1.2850 7,4986 -2.0059 -2.9866

 

Обратный ход:

 

4.5861-0.2358(-1.2850)-0.9195^.7.4986=2.0059

 

 

x₁=b₁₅-b₁₄^.x₄-b₁₃^.x₁₃-b₁₂^.x₂=-0.9731-0.2043(-2.2850)-0.6559 ^. 6.4986-0.2602^.

 

(-3.0059)=-3.9866

 

1.1473-0.2043(-1.2850)-0.6559 ^. 7.4986-

 

-0.2602 ^. (-2.0059)=-2.9866

 

Вывод по решению:

В результате проделанной работы мы решили систему из четырёх уравнений методом Гаусса и получили: X₁=-2.2850; X₂= 6.4986; X₃=-3.0059; X₄=-3.9866.

Задача 4

Постановка задачи

 

Дано дифференциальное уравнение :

где a=0,5 b=0

Начальное условие y(0)=0

Необходимо найти методом Рунге-Кутта его решение на отрезке [0;0,3]

c шагом h=0.1

Решение

Дифференциальное уравнение :

решаем методом Рунге-Кутта по вычислительной схеме приведенной в методическом указании по выполнению курсовой работы.

Для вычисления воспользуемся таблицей 4.1. включив в неё вычисления правой части f(x,y).

Наиболее часто используется метод численного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

                          y'=f(x,y), y(x₀)=y

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка.