Анализ линейной цепи синусоидального тока

Исходные данные:

Рис. 1. Расчетная схема

 

Расчеты.

1) Для построения временных графиков ЭДС преобразуем аналитические выражения для них:

 

Графики  приведены на рис. 2.

е_с(t) e_b(t) e_а(t)

 

Рис. 2. Временные графики ЭДС.

 

) Для расчета схемы запишем комплексы ЭДС:

 

, , .

 

Находим комплексные сопротивления ветвей:

 

 

Выбираем направление обхода обоих независимых контуров по часовой стрелке и записываем систему уравнений в матричной форме:

,

 

где и  - комплексы токов левого и правого независимых контуров.

Подставляя числовые значения, получаем:

 

 

Или

 

 

Решаем систему, пользуясь методом Крамера, для чего находим комплексные определители системы:

 

 

Находим комплексы контурных токов:

 

;

.

 

Вычисляем комплексы токов ветвей:

 

 

Для расчета той же схемы методом межузловых напряжений находим комплекс напряжения смещения нейтрали:

 

 

Вычисляем комплексы токов ветвей, пользуясь обобщенным законом Ома:

 

Как видим, результаты расчета обоими методами совпадают.

) Для построения топографической диаграммы вычисляем действующие значения напряжений элементов схемы:

 

;

;

;

 

откуда заключаем, что к конденсатору приложено огромное напряжение.

Предполагая, что точка N имеет нулевой потенциал, помещаем ее в начало координат на комплексной плоскости (рис. 3). Выбираем масштабы по току и напряжению:

 

, .

 

Строим векторы , получая на плоскости точки a, b и c соответственно. Строим векторы .

 

Рис. 3. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений

 

) Обмотка по напряжению ваттметра  находится под напряжением, комплекс которого , а по токовой обмотке протекает ток, комплекс которого . Находим комплексную мощность :

 

 

Аналогично получаем значение мощности ваттметра :

 

 

Вывод: ваттметр  показывает 1721,69 Вт, ваттметр  показывает 789,12 Вт.

Алгебраическая сумма показаний ваттметров:

 

.

 

Мощность, рассеиваемая резисторами в цепи:

 

,

,

.

 

т.е. по показаниям двух ваттметров нельзя определить активную мощность цепи.

Показания ваттметров можно определить, пользуясь диаграммами (рис. 3). Для этого находим углы, составляемые векторами  и , векторами  и  соответственно. Измерения транспортиром дают следующие результаты: ; . Измерения линейкой длин векторов дают действующие значения соответствующих напряжений и токов:

 

Вычисляем активные мощности:

 

;

;

.

 

Относительная ошибка определения активной мощности цепи с помощью диаграмм:

 

.

 

) Электрические величины, относящиеся к первому ваттметру, - это напряжение  и ток . Так как

 

, то амплитуда этого напряжения

 

и начальная фаза .

Аналогично находим:

, .

Временные графики величин и  приведены на рис. 4. Их аналитические выражения:

 

.

U_ba i_b

Рис. 4. Временные графики электрических величин

 

) При закорачивании узлов n и N комплексы токов в ветвях находим, пользуясь законом Ома:

 

 

Действующее значение тока , протекающего в проводе, соединяющем узлы n и N:

 

Для определения показаний ваттметров находим соответствующие комплексные мощности:

 

 

Сумма показаний ваттметров:

 

.

 

Мощность, рассеиваемая резисторами  и :

 

,

 

т.е. , из чего делаем вывод - с помощью двух ваттметров невозможно определить активную мощность цепи с закороченными узлами n и N.

) Активную мощность цепи можно измерить с помощью двух ваттметров, схема включения которых приведена на рис. 1. Убедимся в этом:

 

 

т.е. сумма показаний двух ваттметров равна сумме мощностей резисторов  и  (см. п. 6).

) Находим действующие значения напряжений элементов:

.

 

Так как точки n и N закорочены, то их потенциалы одинаковы. Принимаем эти потенциалы равными нулю и помещаем точки n и N в начало координат на комплексной плоскости (рис. 3). Последовательность построения диаграмм остается такой же, как и в п. 3.

) Пусть требуются определить ток  в схеме на рис. 1. Выделяем ветвь схемы с исковым током, а оставшуюся часть схемы представляем эквивалентным генератором с параметрами и  (рис. 5). Для определения этих параметров находим комплекс напряжения холостого хода  активного двухполюсника (рис. 6) и его комплексное сопротивление относительно точек n и N. Записываем уравнение по 2-ому закону Кирхгофа для входного контура:

 

Рис. 5. Эквивалентная схема

 

Рис. 6. Схема активного двухполюсника

 

Откуда

 

Находим комплекс тока:

 

 

Тогда

 

.

 

Вычисляем эквивалентное сопротивление:

 

 

Комплекс тока находим по схеме рис. 5 на основании закона Ома:

ток контур мощность цепь

 

что совпадает с найденными в п. 2 значениями.

Окончательно имеем: