Методы численного интегрирования

Содержание

численное интегрирование формула программирование

Введение

Методы численного интегрирования

2. Квадратурные формулы

3. Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Библиографический список

Введение

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

 

. (1)

 

Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

 

.

 

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f(x) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f(x_i) = y_i в некоторых узлах x_i Î[a, b]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P(x), проходящий через полученные точки (x_i, y_i), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

.

 

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

 

, (2)

 

где  - узлы интерполирования, A_i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R, характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.

Методы численного интегрирования

 

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

 

 

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

 

 

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки  в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора  мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)

 

 (5)

 (6)

 

Формула трапеции:

 

Формула Симпсона

 

 

где m=n/2

h=b-a/n

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:

 

 h=

 

По формуле левых прямоугольников:

 

 

По формуле трапеции:

 

По формуле Симпсона:

 

А результат полученный аналитически равен

 

=1

 

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

 

Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х₀ = а, х₁ = a + h, ..., x_n= b отметим ординаты y₀, y₁,…, y_n кривой f(x), т.е. вычислим у_i = f(x_i), x_i = a+ ih = x_i-1+ h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y_i, где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:

. (3)

 

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f(x) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h, что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

 

. (4)

 

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f(x), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

 

. (5)

 

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

 

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [x_i-1, x_i] длины h точки с координатами (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h(y_i-1 + y_i). Суммируя площади элементарных трапеций для i =  получим приближенное значение интеграла:

 

. (6)

 

 

 

Рис. 3.

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [x_i, x_i+2] подынтегральную функцию f(х) заменим параболой, проходящей через точки (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1), (x_i+2, y_i+2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

 

. (7)

 

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

 

 

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

 

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n. При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

 

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.