Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

Задача 1. Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется:

) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.

 

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;

 

1) -7a, 4c; 2) 3a, 7b; 3) a, c.

. Вычислить скалярное произведение векторов из пункта:

 

 

) найти модуль векторного произведения векторов;

 

 

) проверить коллинеарность и ортогональность векторов  и ;

Вектора коллиниарны  если

 

,

 

или векторное произведение :

 

,

т.е. вектора  и  неколлиниарны.

 

Вектора  и  перпендикулярны  если их скалярное произведение .

 

Т.е.  и  неперпендикулярны.

) Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;

 

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k

 

В пространстве образует базис любая тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное произведение не равно 0;

 

 

Следовательно вектора образуют базис.

) Найти координаты вектора d=19i+30j+7k в базисе векторов a,b,c.

 

 

Получили систему:

 

 

Решим систему методом Крамера:

 

, ,  ,

; ;

 

Задача 2. Даны вершины A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC.

Требуется найти:

уравнение стороны AB;

Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В имеет вид:

 

АВ:

 

уравнение высоты CH и длину этой высоты;

Общее уравнение прямой имеет вид:

, где  - координаты вектора нормали.

Определим a и b для прямой АВ:

 

 

Вектор нормали  одновременно является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку ):

 

 

Длина высоты СН равна модулю проекции вектора АС или ВС на направление вектора

 

 

уравнение меидианы AM;

Определим координаты точки М:

 

 

Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки имеет вид:

 

 

точку N пересечения медианы AM и CH;

 

 

уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

 

Вектор

 

Тогда каноническое уравнение искомой прямой будет иметь вид:

 

 

) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.

 

A(-2,-3), B(1,6), C(6,1).

 

Задача 3. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 - 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F - фокус кривой, - эксцентриситет, 2 c - фокусное расстояние,  - уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, A, B- точки, лежащие на кривой.

 

 

Составить каноническое уравнение эллипса, если

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

 

 

Подставим координаты точки А в уравнение и получим:

 

 

Искомое каноническое уравнение эллипса имеет вид:

 

 

Составить каноническое уравнение гиперболы, если

 

 

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

 

 

Точка А является одной из точек пересечения гиперболы с осью ОХ. Следовательно .

Зная точку В найдем фокусное расстояние с гиперболы.

 

 

Следовательно, уравнение искомой гиперболы будет иметь вид:

вектор произведение эллипс гипербола

 

Составить каноническое уравнение параболы, если известна директриса

Каноническое уравнение искомой параболы имеет общий вид:

Директриса записывается виде

 

 

Следовательно искомое уравнение имеет вид:

Задачи 4. Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти:

) уравнение плоскости A1A2A3;

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

 

2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;

Направляющий вектор прямой совпадает с вектором нормали плоскости A1A2A3 координаты которых определяются как

 

 

Каноническое уравнение искомой прямой принимает вид:

 

 

расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3 находится как:

 

 

синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3;Уравнение прямой A1A4 имеет вид:

 

 

Направляющий вектор прямой A1A4 . Тогда

 

 

) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3. A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6).

Косинус угла между плоскостями определяется как косинус угла между его нормалями: