Дивергенция и ротор векторного поля

Введение

 

Для описания физических величин удобно использовать понятие поля. Простейшими физическими величинами являются скаляр и вектор. Их обобщением является тензор. Полное определение тензора мы дадим в курсе тензорного анализа, а сейчас под тензором будем понимать физическую величину, которая может быть задана в виде числа (скаляра), вектора, матрицы или более сложного образования.

Определение 1. В пространстве (среде) задано поле тензора , если этот тензор определен в каждой точке пространства

 

.

 

В качестве  можно выбрать скаляр, вектор или тензор более высокого ранга. Рассмотрим основные свойства поля и его характеристики.

 

Скалярное поле

 

Определение 1. Поле  называется скалярным, если в каждой точке пространства определено значение скалярной величины .

Поле может зависеть также и от времени

 

.

 

Здесь t играет роль параметра. Примеры скалярных полей: температура в каждой точке сплошной среды, плотность вещества или электрического заряда (как функция координат точек среды), электрический потенциал,…

Определение 2. Поверхностью уровня скалярного поля  называется совокупность точек удовлетворяющих уравнению

 

,

 

где С - некоторая постоянная.

На плоскости уравнение

 

 

определяет линии уровня.

Выберем в пространстве некоторое направление l, которое задается единичным вектором (ортом) . Рассмотрим две точки М и , лежащие на этой линии

 

 

Определение 3. Производной от функции  по направлению l называется предел

 

.

 

Эта величина характеризует быстроту изменения функции  в направлении . Имеем

 

,

,

, , .

 

Если направление задается вектором , то

.

 

Аналогично, для

 

 

и для

 

.

 

Определение 4. Градиентом скалярной функции  называется вектор

 

.

 

В математике часто используется символ (читается «набла»)

 

,

 

который называют оператором дифференцирования или оператором Гамильтона. С помощью этого оператора градиент функции может быть записан в виде

.

 

Теорема 1. Производная скалярного поля  в точке М в направлении орта  равна проекции градиента поля  на направление орта .

Доказательство. Производную по направлению, определяемому ортом , можно записать в виде скалярного произведения

 

 

С другой стороны

 

 

где φ - угол между векторами е и .

 

Максимальное значение  достигается при , когда . Следовательно, градиент функции  указывает направление максимального возрастания этой функции.

 

Векторное поле

 

Определение 1. Поле  называется векторным, если в каждой точке пространства определено значение векторной величины .

Примеры векторных полей: напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде, напряженность магнитного поля,…

Определение 2. Векторными линиями поля  называются кривые, касательные в каждой точке которых совпадают с направлениями вектора  в этой точке. На рисунке показано поле скоростей  движущейся жидкости.

 

 

В электростатике векторные линии называют силовыми линиями или линиями напряженности электрического поля.

Теорема 1. Если задано векторное поле , то векторные линии этого поля описываются системой дифференциальных уравнений

.

 

Доказательство. На рисунке в точке М показаны элемент длины векторной линии  и вектор поля .

 

 

Запишем условие параллельности двух векторов:

 

.

 

Если векторное поле определяет скорость движения среды , то векторные линии называются линиями тока.

Пример 1. Найти векторную линию векторного поля , проходящую через точку .

Решение. Имеем систему дифференциальных уравнений

 

 

с начальными условиями

.

Проинтегрируем систему:

 

,

.

 

Используем начальные условия:

 

; .

 

Ответ: .

Пример 2. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости .

 

Ответ: .

 

Дивергенция и ротор векторного поля

 

Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.

Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве.

Определение 1. Дивергенцией векторного поля  называется число, которое определяется выражением

 

.

 

При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла

 

.

 

Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов  и F. Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле .

Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля  в точке .

Ответ:

 

.

 

Определение 2. Ротором векторного поля  называется вектор, который определяется выражением

.

 

Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила .

 

Ротор векторного поля  можно записать с помощью оператора набла

 

.

 

Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля , поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF.

Пример 1. Вычислить ротор векторного поля  в точке .

Ответ: ,

 

.

Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля . В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей

 

.

 

Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения

 

,

 

полагая . Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».

Пример 1. Вычислить градиент векторного поля .

Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем

 

.

 

Здесь  символ Кронекера,  - единичная матрица.

Ответ: .

Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля  и сравнить выражения  и .