Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника.

Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны соответственно 6 см и 2 см. Определите дину третьей стороны этого треугольника.

Третья сторона не может быть равна 2, так как треугольника со сторонами 6, 2, 2 не существует (6>2+2). Значит, третья сторона равна 6 (так как треугольник равнобедренный, других вариантов нет).

7. Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30 см.

             В

О

А                                     С

 

 

Найдем угол АВС= 180°-20°-60°=100° Так как BD - биссектриса, то угол ДВС= 100°:2=50° Треугольник HBC- прямоугольный. Так как угол С=60°, то Угол НВС=30°. Таким образом, искомый угол DBH равен 50°-30°=20° Ответ: 20°

8. Из вершины В в треугольнике АВС проведены высота ВН и биссектриса ВД. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой АД, если углы ВАС и ВСА равны 20° и 60° соответственно.

 

Площадь треугольника: - полупериметр - радиус Из этой формулы:       см - полупериметр Р=12 * 2 = 24 см – периметр                              Ответ: 24 см.

9. Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84см². Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 7см.

 

10. В трапеции АВСД диагональ ВД является биссектрисой прямого угла АДС. Найдите отношение диагонали ВД к стороне АВ трапеции, если угол ВАД=30°

Н

Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника.

1) Проведем прямую ДЕ, которая будет являться средней линией треугольника АВС, т.к. Д и Е - середины сторон. 2) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (то есть половине АС), ДЕ = 44 : 2 = 22 (см.) 3) Д - середина АВ по условию. АД = ДВ = 1/2 АВ, АД = 24 : 2 = 12 (см.) 4) Е - середина ВС по условию. ЕВ = ЕС = 1/2 ВС, ЕС = 32 : 2 = 16 (см.) 5) Периметр четырехугольника АДЕС = АС + ЕС + АД + ДЕ = 44 + 16 + 12 + 22 = 94 (см.)                                 Ответ: Периметр АДЕС = 94 см.

12. В треугольнике АВС отмечены точки Д и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найти периметр четырехугольника АДЕС, если АВ=24см, ВС=32см и АС=44см

 

 

Высоты будут на продолжение сторон. АВС=х KBL=4x угол CBA=углу BAL и угол CBA=углуKCB (внутренние накрест лежащие). Угол KBC=90-x угол LBA=90-x (90-x+90-x+x)/x=4 x=36° - это острый Тупой угол параллелограмма=180-36=144.°

Л

13. Угол между высотами ВК и ВЛ параллелограмма АВСД, проведенными из вершины его остроугольного угла В, в четыре раза больше самого угла АВС. Найдите углы параллелограмма.

В

                         С

 

 

К А                Д

А

14. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если его катеты равны 8см и 6см.

	В прямоугольном треугольнике, медиана, проведённая к гипотенузе равна половине этой гипотенузы. По т. Пифагора АС2=АВ2+ВС2, АС= = =10см АМ=МС=ВМ=10/2=5см                Ответ 5 см.

               М

6

 

В           8           С

15. Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены перпендикуляры. Найдите катет треугольника, если периметр полученного четырехугольника равен 12см.

А

	Н

Д

 

С        К        В

 

16. Площадь ромба АВСД ровна 242. Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135°.

Формула приведения

 

 

17. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и ВД – диаметры этих окружностей. Доказать, что треугольники АВО и СДО равны.

 

А

                                                 В