Формирование векторного представления контура

После выполнения алгоритма прослеживания контура и выявления контрольных точек имеется три вектора: , ,  - абсциссы, ординаты и веса контрольных точек соответственно. Тройку  назовем скелетом изображения . Далее вычислим:

центр масс контрольных точек , где , ;

длины радиус-векторов контрольных точек относительно центра масс: , , а также длины нормированных радиус-векторов , где ;

косинусы углов между соседними радиус-векторами контрольных точек: ,  ( считая ,  )

Из вычисленных компонент составляем векторы . Векторы  будут инвариантны относительно сдвига, поворота и гомотетии изображения относительно центра масс (если «замкнуть» эти векторы, считая ). Четверку  будем называть нормированным векторным представлением изображения . Рассмотрим вопрос об устойчивости центра масс изображения к добавлению новой контрольной точки.

Теорема 1. Если к нормированному векторному представлению  добавить контрольную точку с весом , то для евклидова расстояния между новым центром тяжести  и старым  справедлива оценка , где - точки скелета изображения . В частности, если , то .

Другими словами, если число контрольных точек достаточно велико, а вес новой точки небольшой, то центр симметрии сместится незначительно.

Функция изображения

Вместо анализа векторного представления  в ряде задач (одна из которых будет рассмотрена в следующем разделе) удобней изучать свойства некоторой функции, связывающей векторы из представления . Например, рассмотрим функцию ,
где  ( ). Эту функцию можно рассматривать как обобщение дескриптора Фурье [5]. По функции  коэффициенты  (а, следовательно, и ) будут определяться однозначно, как коэффициенты частичной суммы ряда Фурье. По дискретным значениям этой функции , коэффициенты  можно найти из линейной системы , , если значения , , такие, что определитель матрицы  отличен от нуля, где , где - целая часть числа. Множество функций изображения будем рассматривать вместе с нормой . Следующая теорема говорит об устойчивости функции изображения к изменению весов (и, следовательно, к изменению центра масс).

Теорема 2. Пусть  и  два скелета изображения  такие, что . Тогда, если и  соответствующие этим скелетам функции изображения, то , где .

Однако при добавлении новой контрольной точки даже с небольшим весом функция изображения, вообще говоря, может сильно измениться, так как она не является инвариантной относительно сдвига векторов векторного представления . Таким свойством будет обладать, например, функция , хотя коэффициенты этой функции уже не будут однозначно восстанавливаться по ее значениям.