Теория случайных величин

1. Дан графический закон распределения дискретной случайной величины (многоугольник распределения). Найти распределения случайной величины. Найти и построить функцию распределения случайной величины.

Деления по оси абсцисс на всех рисунках означает единичный отрезок

                                          

                           

Решение:

Согласно представленному чертежу, значения случайной

величины -3, -1, 3.

Пусть одно деление на оси ординат равно . Тогда значения

вероятностей, соответствующих значениям случайной

величины, равны , , . Сумма вероятностей равна 1,

тогда .

Таким образом, распределение случайной величины имеет вид:

	-3	-1	3

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид: .

Для данного распределения

                               

                                      1

 

 

                                     0,375

                                     0,25

 

                             -3 -1             3          

2. Дискретная случайная величина принимает значения 2, 5, 9 с соответствующими вероятностями 0,3, 0,1, . Найти математическое ожидание случайной величины. Построить функцию распределения вероятностей.

Решение:

Дополним ряд распределения, используя свойство .

Полный ряд распределения:

	2	5	9
	0,3	0,1	0,6

Математическое ожидание .

Для данного распределения            

 

                                                                                                              2 5  9                 

3. Дан ряд распределения случайной величины:

	-4	1	3	5
	0,1	0,3		0,2

Найти моду случайной величины .

Решение:

Дополним ряд распределения, используя свойство . .

Полный ряд распределения:

	-4	1	3	5
	0,1	0,3	0,4	0,2

Мода случайной величины  - наивероятнейшее значение случайной величины. Таким образом,  (значение вероятности 0,4 наибольшее).

Ответ: 3.

 

4. Дан ряд распределения случайной величины :

	2

. Математическое ожидание , дисперсия . Найти значение случайной величины .

Решение:

Используя свойство для вероятностей, получим уравнение .

Используя формулу для математического ожидания, получим уравнение .

Используя формулу для дисперсии, получим уравнение .

Получим систему уравнений:

Из первого уравнения . Тогда система примет вид: .

Ответ: 5.

5. В урне 2 белых и 3 черных шара. Шары извлекаются из урны без возвращения до появления черного шара. Случайная величина  – количество извлеченных белых шаров. Найти ряд распределения случайной величины.

Решение:

Значения случайной величины: 0, 1, 2. Каждому значению случайной величины соответствует событие.

Событие  – при первом извлечении появился сразу черный шар (извлечено 0 белых), .

Событие  – при первом извлечении появился белый шар, а при втором извлечении появился черный шар (извлечен 1 белый), .

Событие  – при первом извлечении появился белый шар, при втором извлечении появился белый шар, а при третьем извлечении появился черный шар (извлечены 2 белых шара), .

Ряд распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

	0	1	2

 

6. Стрелок производит 30 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,4. Случайная величина  – количество попаданий. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение:

Так как производится  независимых испытаний, вероятность появления события А (попадание в цель) равна  в каждом испытании, то случайная величина  распределена по биномиальному закону. Тогда математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам .Для рассматриваемой случайной величины .

Ответ: .

7. Дана функция распределения случайной величины :  

Найти параметр, функцию плотности и основные числовые характеристики.

Решение:

Используя свойство непрерывности функции распределения, имеем . Функция распределения имеет вид: .

Функция плотности распределения вероятностей .

Основные числовые характеристики:

.

.

8. Случайная величина  распределена по равномерному закону на отрезке [2; 10]. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал . Записать функции распределения и плотности. Найти основные числовые характеристики.

Решение:

Параметры распределения .

Числовые характеристики:

Функция распределения:

Функция плотности:

Вероятность:

 

9. Случайная величина  распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти функцию распределения вероятностей и функцию плотности случайной величины. Определить числовые характеристики. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

Решение:

Параметр распределения .

Числовые характеристики:

Функция распределения:

Функция плотности:

Вероятность:

 

10. Закон распределения случайной величины  задан функцией плотности . Найти числовые характеристики случайной величины.

Решение:

Параметры распределения .

Числовые характеристики: