Решить задачу теории вероятностей.

Здесь нам предстоит рассмотреть несколько примеров задач теории вероятностей и статистики, представленных в контрольной работе.

 

Пример 1.

В урне 5 желтых, 7 белых, 14 черных и 3 красных шара. Наудачу из урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным?

 

Решение.

Считаем количество шаров в урне, их 29, чему равно количество всевозможных исходов события. Благоприятных исходов – 14, так как ровно столько шаров черного цвета.

По классическому определению вероятности:

 

Задание выполнено.

 

Ответ: .

 

Пример 2.

В вопросах к экзамену имеется 71% вопросов, на которые студент знает ответ. Преподаватель задает студенту наудачу два вопроса. Какова вероятность того, что хотя бы на один вопрос студент знает ответ?

 

Решение.

Переведем для удобства проценты в числа, тогда:

0.71 – студент знает ответ; 0.29 – студент ответ не знает.

 

Всевозможные варианты:

Знает первый – Знает второй

Знает первый – Не знает второй

Не знает первый – Знает второй

Не знает первый – Не знает второй

 

Используя соответствующие теоремы теории вероятностей получим:

В такой ситуации нас не устраивает лишь последний вариант. Его мы вычитаем из .

Получим

    Задание выполнено.

 

Ответ: 0,92.

Пример 3.

На заводе выпустили 59 деталей, 40 из которых стандартные детали. Рабочий наудачу взял из ящика две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

 

Решение.

 

Извлечение двух деталей одновременно равносильно поочередному их извлечению. Потому для первой детали вероятность равна . После этого в ящике останется на одну деталь меньше, и, соответственно, при удачной первой попытке, на одну стандартную деталь меньше. А значит, вероятность извлечения второй стандартной детали будет . 

Находим вероятность извлечения двух стандартных деталей по теореме умножения вероятностей.

Получаем:

 

Задание выполнено.

 

Ответ: 0,46.

Пример 4.

 

В цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 39% деталей от их общего количества, на втором 49% и на третьем 12%. При этом на первом станке было изготовлено 92% деталей первого сорта, на втором 76% и на третьем 60%. По формуле полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта.

 

Решение.

Переведя проценты в числа, заполним таблицу:

 

Станок	Изготовлено деталей	Детали первого сорта
I	0.39	0.92
II	0.49	0.76
III	0.12	0.6

 

По формуле полной вероятности:

 

Задание выполнено.

 

Ответ: 0,8.

Пример 5.

Дано распределение дискретной случайной величины:

 

Х	2	4	5	1	3
Р	0.17	0.35	0.29	0.12	0.07

 

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины.

 

Решение.

Используем формулы:

, ,

 

Таким образом:

 

Задание выполнено.

Ответ: 3,52; 0,39; 0,62.
2.3 Варианты контрольной работы

Вариант 1

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты.

Компания специализируется на выпуске принтеров и сканеров. Имеется четыре производственных участка . На участке  принтер производится за час, сканер – за 4 часа; работать на участке  допустимо не более 140 часов. На участке  принтер производится за 3 часа, сканер – за 2 часа; работать на участке  допустимо не более 120 часов. На участке  принтер производится за час, сканеры не производятся; работать на участке  допустимо не более 40 часов. На участке  сканер производится за час, принтеры не производятся; работать на участке  допустимо не более 35 часов. Прибыль от реализации одного принтера составляет 15 рублей, а от реализации одного сканера – 40 рублей. 

Определить количество принтеров и сканеров, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым).

Вариант 2

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

    Компания специализируется на выпуске кресел и диванов. Имеется четыре производственных участка . На участке  кресло производится за час, диван – за 3 часа; работать на участке  допустимо не более 90 часов. На участке  кресло производится за 2 часа, диван – за 3 часа; работать на участке  допустимо не более 120 часов. На участке  кресло производится за час, диваны не производятся; работать на участке  допустимо не более 45 часов. На участке  диван производится за час, кресла не производятся; работать на участке  допустимо не более 25 часов. Прибыль от реализации одного кресла составляет 15 рублей, а от реализации одного дивана – 30 рублей. 

    Определить количество кресел и диванов, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

    В ящике лежат шары: 6 белых, 12 красных, 9 зеленых, 10 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым).

Вариант 3

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

    Компания специализируется на выпуске комодов и шкафов. Имеется четыре производственных участка . На участке  комод производится за 5 часов, шкаф – за 8 часов; работать на участке  допустимо не более 400 часов. На участке  комод и шкаф производятся за час; работать на участке  допустимо не более 65 часов. На участке  комод производится за час, шкафы не производятся; работать на участке  допустимо не более 55 часов. На участке  шкаф производится за час, комоды не производятся; работать на участке  допустимо не более 50 часов. Прибыль от реализации одного комода составляет 40 рублей, а от реализации одного шкафа – 55 рублей. 

    Определить количество комодов и шкафов, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

    В вопросах к зачету имеются 46% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

Вариант 4

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

Компания специализируется на выпуске тостеров и чайников. Имеется четыре производственных участка . На участке  тостер производится за час, чайник – за 2 часа; работать на участке  допустимо не более 100 часов. На участке  тостер производится за 7 часов, чайник – за 6 часов; работать на участке  допустимо не более 420 часов. На участке  тостер производится за час, чайники не производятся; работать на участке  допустимо не более 60 часов. На участке  чайник производится за час, тостеры не производятся; работать на участке  допустимо не более 45 часов. Прибыль от реализации одного тостера составляет 45 рублей, а от реализации одного чайника – 50 рублей. 

Определить количество тостеров и чайников, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

В вопросах к зачету имеются 92% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

Вариант 5

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

Компания специализируется на выпуске утюгов и фенов. Имеется четыре производственных участка . На участке  утюг производится за 3 часа, фен – за 10 часов; работать на участке  допустимо не более 450 часов. На участке  утюг производится за 3 часа, фен – за 5 часов; работать на участке  допустимо не более 300 часов. На участке  утюг производится за час, фены не производятся; работать на участке  допустимо не более 75 часов. На участке  фен производится за час, утюги не производятся; работать на участке  допустимо не более 45 часов. Прибыль от реализации одного утюга составляет 30 рублей, а от реализации одного фена – 75 рублей. 

Определить количество утюгов и фенов, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

На складе находятся 31 деталь, из которых 14 - стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Вариант 6

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

    Компания специализируется на выпуске телефонов и ноутбуков. Имеется четыре производственных участка . На участке  телефон производится за час, ноутбук – за 4 часа; работать на участке  допустимо не более 140 часов. На участке  телефон производится за 3 часа, ноутбук – за 2 часа; работать на участке  допустимо не более 120 часов. На участке  телефон производится за час, ноутбуки не производятся; работать на участке  допустимо не более 40 часов. На участке  ноутбук производится за час, телефоны не производятся; работать на участке  допустимо не более 35 часов. Прибыль от реализации одного телефона составляет 15 рублей, а от реализации одного ноутбука – 40 рублей. 

    Определить количество телефонов и ноутбуков, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

    На складе находятся 15 деталей, из которых 11 - стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Вариант 7

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

    Компания специализируется на выпуске окон и дверей. Имеется четыре производственных участка . На участке  окно производится за час, дверь – за 3 часа; работать на участке  допустимо не более 90 часов. На участке  окно производится за 2 часа, дверь – за 3 часа; работать на участке  допустимо не более 120 часов. На участке  окно производится за час, двери не производятся; работать на участке  допустимо не более 45 часов. На участке  дверь производится за час, окна не производятся; работать на участке  допустимо не более 25 часов. Прибыль от реализации одного окна составляет 15 рублей, а от реализации одной двери – 30 рублей. 

    Определить количество окон и дверей, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

    В цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 46% деталей от их общего количества, на втором 20% и на третьем 30%. При этом на первом станке было изготовлено 92% деталей первого сорта, на втором 76% и на третьем 60%. По формуле ПВ определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта.

Вариант 8

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

Компания специализируется на выпуске фоторамок и фотоаппаратов. Имеется четыре производственных участка . На участке  рамка производится за 5 часов, фотоаппарат – за 8 часов; работать на участке  допустимо не более 400 часов. На участке  фоторамка и фотоаппарат производятся за час; работать на участке  допустимо не более 65 часов. На участке  рамка производится за час, фотоаппараты не производятся; работать на участке  допустимо не более 55 часов. На участке  фотоаппарат производится за час, рамки не производятся; работать на участке  допустимо не более 50 часов. Прибыль от реализации одной фоторамки составляет 40 рублей, а от реализации одного фотоаппарата – 55 рублей.

Определить количество рамок и фотоаппаратов, которое необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 41% деталей от их общего количества, на втором станке 22% и на третьем 37%. При этом на первом станке было изготовлено 89% деталей первого сорта, на втором 77% и на третьем 63%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта.

Вариант 9

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

       Компания специализируется на выпуске самокатов и велосипедов. Имеется четыре производственных участка . На участке  самокат производится за час, велосипед – за 2 часа; работать на участке  допустимо не более 100 часов. На участке  самокат производится за 7 часов, велосипед – за 6 часов; работать на участке  допустимо не более 420 часов. На участке  самокат производится за час, велосипеды не производятся; работать на участке  допустимо не более 60 часов. На участке  велосипед производится за час, самокаты не производятся; работать на участке  допустимо не более 45 часов. Прибыль от реализации одного самоката составляет 45 рублей, а от реализации одного велосипеда – 50 рублей.

       Определить количество самокатов и велосипедов необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

X	1	2	4	5
P	0.31	0.1	0.29	0.3

    Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

 

Вариант 10

 

№1 Задание.

 

    Вычислить определитель четвертого порядка:

 

№2 Задание.

 

    Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

 

№3 Задание.

 

Составить табличную и математическую модели задачи. Решить задачу геометрическим симплекс-методом, табличным симплекс-методом; сверить полученные результаты

Компания специализируется на выпуске мотоциклов и автомобилей. Имеется четыре производственных участка . На участке  мотоцикл производится за 3 часа, автомобиль – за 10 часов; работать на участке  допустимо не более 450 часов. На участке  мотоцикл производится за 3 часа, автомобиль – за 5 часов; работать на участке  допустимо не более 300 часов. На участке  мотоцикл производится за час, автомобили не производятся; работать на участке  допустимо не более 75 часов. На участке  автомобиль производится за час, мотоциклы не производятся; работать на участке  допустимо не более 45 часов. Прибыль от реализации одного мотоцикла составляет 30 рублей, а от реализации одного автомобиля – 75 рублей. 

Определить количество мотоциклов и автомобилей необходимо выпускать компании для получения максимальной прибыли. Определить максимальную прибыль.

 

№4 Задание.

 

Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

X	1	2	4	5
P	0.41	0.16	0.29	0.4

    Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.