Пример решения задачи 3

Пример решения задачи 1

Схема стержневой системы показана на рисунке 2. Размеры конструкции и величины нагрузок:

a = 1 м; b = 1,2 м; c = 0,8 м; P = 50 кН; q = 20 кН/м.

Рисунок 2

 

 

Решение .

Покажем усилия, действующие в элементах рассматриваемой конструкции. Для этого рассечем систему по стержню AB на две части, как показано на рисунке 3. Распределенную нагрузку заменим равнодействующей qa, приложенной в середине жесткого бруса AC (рисунок 3 а). Усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ направим растягивающими.

 

 

 

Рисунок 3

 

Угол наклона стержня AB к горизонтальной оси обозначим  (рисунок 3 а), его синус и косинус равны

;

.

Для нахождения усилия N₁ составим уравнение равновесия, выражающее равенство нулю суммы моментов всех сил, показанных на рисунке 3 а, относительно шарнира С:

,

откуда получим  (кН).

Для схемы на рисунке 3 б составим два других уравнения, выражающих суммы проекций на горизонталь и вертикаль соответственно:

Решая систему последних уравнений, получим

(кН),

(кН).

Знаки полученных усилий указывают на то, что первый и второй стержень испытывают растяжение, а третий – сжатие.

Запишем для каждого стержня условие прочности:

,

где допускаемое напряжение равно

(МПа).

Таким образом, требуемые площади поперечных сечений равны:

(м²) = 1,125 (см²),

(м²) = 2,19 (см²),

(м²) = 0,625 (см²).

Окончательно принимаем минимально допустимые площади сечений элементов конструкции:

F₁ = 1,125 см²; F₂ = 2,19 см²; F₃ = 0,625 см².

Определим абсолютные деформации по формуле

,

где длины стержней  согласно схеме на рисунке 2 составляют м, l₂ = b = 1,2 м, l₃ = c = 0,8 м;

(м) = 1,15 (мм),

(м) = 0,96 (мм),

(м) = –0,64 (мм).

Если вычислить величины относительных деформаций стержней, то они будут одинаковыми:

.

Перемещение узла B можно определить геометрически, связав его с величинами абсолютных деформаций второго и третьего стержней.

Чтобы найти положение узла B после деформации, составим план перемещений вблизи этого узла (рисунок 4).

Рисунок 4

 

Искомое перемещение Δ_B равно длине отрезка BB₁:

Выводы.

1. Из условий равновесия найдены усилия в стержнях:

N₁ = 18 кН, N₂ = 35 кН, N₃ = – 10 кН.

При этом стержни 1, 2 испытывают растяжение, стержень 3 – сжатие.

2. Из условий прочности определены площади сечений стержней:   F₁ = 1,125 см²; F₂ = 2,19 см²; F₃ = 0,625 см².

3. При найденных площадях сечений абсолютные деформации стержней составили:

 = 1,15 мм,  = 0,96 мм,  = –0,64 мм.

Перемещение узла В равно  = 1,15 мм.

Пример решения задачи 3

Схема вала показана на рисунке 10.

Исходные данные: N = 65 кВт, d = 44 мм, l₁ =0,3 м, l₂ =0,25 м, l₃ =0,2 м, = 50 МПа, [φ] = 0,015 рад.

Рисунок 10

 

Решение.

Расчетная схема показана на рисунке 11.

Методом сечений, определим крутящие моменты по участкам бруса, выражая их в долях момента М, передаваемого от ведущего шкива:

в сечении 1-1: M _к1 = 0,3М ;

в сечении 2-2: M _к2 = 0,3М + 0,4М = 0,7М ;

в сечении 3-3: M _к3 = 0,3М + 0,4М – М = –0,3М .

Эпюра "M _к " показана на рисунке 11 б.

Определим из условия прочности допускаемое значение момента М. Поскольку поперечное сечение по всей длине вала одинаково, то наиболее опасным участком является участок 2, где крутящий момент достигает максимальной величины:

M_max = M _к2 = 0,7М .

Запишем условие прочности для опасного участка:

,

где 17000 (мм³) =17,0·10^–6 (м³).

Рисунок 11

 

Тогда допускаемое значение момента М равно

(Нм).

Примем для дальнейших вычислений минимально допускаемый момент М = 1214 Нм.

Для вычисления допускаемого числа оборотов вращения вала в минуту n используем зависимость:

,

откуда следует (об/мин).

При найденном значении М вычислим на каждом участке углы поворота сечений, считая левый шкив неподвижным. Координаты  рассматриваемых сечений на каждом из участков вала показаны на рисунке 11 а.

Определим жесткость сечения

(Нм²).

Угол поворота сечения 1 равен

, здесь ,

вычислим две ординаты в начале и в конце участка:

,

(рад).

Угол поворота сечения 2 равен

, ,

(рад),

(рад).

Угол поворота сечения 3 равен

, ,

(рад),

(рад).

Эпюра "φ" показана на рисунке 11 в, откуда видно, что максимальный угол поворота φ_max имеет место под ведущим шкивом. Проверим выполнение условия жесткости вала:

(рад),

следовательно, условие жесткости удовлетворяется.

Выводы.

1. Из построенной эпюры "M _к " установлено, что наиболее опасным участком вала является участок 2, на котором M_max = 0,7М.

2. Из условия прочности найден допускаемый момент, передаваемый на вал от ведущего шкива, – М = 1214 Нм. При этом допускаемое число оборотов вращения вала составило n = 511 об/мин.

3. Из построенной эпюры " φ " установлено, что максимальный угол поворота φ_max = 0,0107·радиан, что не превышает допускаемого значения 0,015 радиан.