Анализ электрических цепей при гармоническом воздействии

Гармонический – самый простой непостоянный сигнал.

Теорема

Если на цепь подаётся гармоника, то ток и напряжение тоже принимают её.

Гармоника – Cos

 – стандартная запись гармоники

V – Амплитуда, V ≥ 0 V = [В]

T – Период, T > 0    T = [с], [мин] и т.д.

φ – Начальная фаза,

Частота – F

                                 Гармоническая частота F = [Гц]

FT=1

=>   

Циклическая частота                            

φ = 0:

Запись гармоники со сдвигом

 =>

                                                                               

или              

 

Формула Эйлера:

 

 

Комплексная Амплитуда

 

Взятие производной:

Расчет электрических цепей меодом комплексных амплитуд

Преобразование элементов:

Ток и напряжение синфазны на сопротивлении

   

 

 

Индуктивность:

Ёмкость:

 

 

Если сигнал включен давно, то в цепи наблюдается установившийся режим

 

 

Составим комплексную схему замещения:

Построим векторные диаграммы для тока и напряжения:

Проверим закон Кирхгофа:

Анализ мощности при гармоническом воздействии

Синтез эквивалентного сопротивления

I Способ:

II Способ:

 

Мощность:

 

 

Комплексная мощность (Мощность электрика, электротехническая)

P – Активная мощность [Вт]

Q – Реактивная мощность [ВАР] (Вольт-Ампер Реактивный)

P > 0 – “Потребитель”               Q > 0 – “L”

P < 0 – “Генератор”                    Q < 0 – “C”

В цепи выполняется теорема Телледжена:

Частотные характеристики

Анализ входных сопротивлений и проводимости

Сдвиг I(t) на τ приводит к сдвигу V(t) на τ

 - Инвариантность во времени

Важна разность между  и

Такое положение неизменно, оно всё обладает свойством линейности

 

 

Меняем Ω (константа) à ω (переменная от опыта к опыту)

 - АЧХ – зависимость отношения амплитуд гармоник от частоты

ФЧХ – фазочастотная характеристика

 - (Комплексная) Частотная Характеристика (КЧХ)

 

 

Графики:

 

 

 

Годограф:

 

Рисуем график

:

 

RC-цепочка

Графики:

:

:

Годограф:

:

 

:

 

 

 - Постоянная времени RC-цепочки

Годограф:

Частотные характеристики

Теория Четырёхполюсника

Всякая цепь помещается в чёрный ящик

Двухполюсник

Четырёхполюсник

Четырёхполюсник как передаточное звено

RC-цепочка:

1) Переходим в комплексную амплитуду

2) Подключаем источник напряжения

Общая форма:

 - коэффициент передачи на нулевой частоте

Пример:

RL-цепочка:

 

Пример:

 

 

CR-цепь:

 

По методу делителей:

Пример:

 

!

 

   τ должно быть одинаковым и в числителе и в знаменателе

Для нулевого комплексного числа аргумент равен нулю, если мы незнаем, откуда оно взялось

 à Зависит от конфигурации цепи

АЧХ:

ФЧХ:

Учимся читать ФЧХ

Сложная форма (от слова сложение) цепи первого порядка

АЧХ:

Цепь без частотно селективных свойств – фазокорректирующая цепь:

=> ФЧХ:

 

Цепи второго порядка (колебательный контур).

При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии (индуктивности L и емкости C) то данная цепь называется «цепью второго порядка»

Цепь второго порядка называют также колебательным контуром.

Существуют идеальные параллельный и последовательный контура:

Последовательный RLC-контур подключается к источнику напряжения, а параллельный RLC-контур подключается к источнику тока:

 

Последовательный RLC-контур .

Перейдем в метод комплексных амплитуд и найдем его входное сопротивление:

 

 

Резонансная частота – такая частота, при которой реактивная часть сопротивления равняется нулю.

Резонансная частота – эталон сравнения.

Характерестическое сопротивление – реактивная составляющая сопротивления RLC-контура при резонансной частоте.

 

Рассмотрим поведение сопротивления контура на различных частотах:

На частотах много больших резонансной, реактивная часть сопротивления RLC-контура примерно равна

На частотах много меньших резонансной, реактивная часть сопротивления RLC-контура примерно равна

Графическое решение :

Ширина полосы пропускания контура численно равна разности значений частот верхней и нижней границы:

В пределах частот попадающих в полосу пропускания RLC-контура, последний ведет себя как активное сопротивление.

Аналитическое решение:

Добротность – отношение резонансной частоты к полосе пропускания.

Так как  то, путем преобразований мы получим следующий результат:

Добротность – отношение характеристического сопротивления к сопротивлению потерь.

 

Таким образом, мы можем выделить внутренние и внешние параметры RLC-контура:

· Внутренние: R, L, C

· Внешние: ω₀, ρ, Q

Прямой расчет:

 

Обратный пересчет:

 

Таким образом середина полосы пропускания находится правее резонансной частоты.

Тогда, резонансная частота есть среднее геометрическое:

Если так сложилось, что наша добротность равна бесконечности, то среднеарифметическое от верхней и нижней границы полосы пропускания совпадает с резонансной частотой RLC-контура.

Таким образом у нас идеальный RLC -контур.

 

Добротность  является критической.

RLC-контур

Нерезонансный ( )                                             Резонансный ( )

Деление резонансных контуров по значениям добротности:

Название	Значение Q
Низкодобротные	0.5<Q<3
Среднедобротные	3<Q<5
Высокодобротные	5<Q<15
Сверхвысокодобротные	Q>15

 

В курсе ОТЦ тестовым значением добротности следует принимать Q=5.

 

Параллельный RLC -контур.

Резонансная частота так же, как и в последовательном включении равна:

Формула характеристической проводимости:

 

 

Сопоставим последовательный и параллельный RLC-контур:

Частотные характеристики простейших контуров.