Нахождение экстремума функции без ограничения

Дана некоторая функция f(х) на открытом интервале (а, в) изменения аргумента х. Предполагаем, что exst внутри этого интервала существует (нужно сказать, что в общем случае математически заранее это утверждать не могут; однако в технических приложениях очень часто наличие exst внутри некоторого интервала изменения интервала изменения аргумента может быть предсказано из физических соображений).

Определение exst. Функция f(x) заданная на интервале (а, в) имеет в точке x^* max(min), если эту точку можно окружить таким интервалом (x^*-ε, x^*+ε), содержащимся в интервале (а, в), что для всех ее точек х, принадлежащих интервалу (x^*-ε, x^*+ε), выполняется неравенство:

f(x) ≤ f(x^*) → для max

f(x) ≥ f(x^*) → для min

Это определение не накладывает никаких ограничений на класс функций f(x), что, конечно, очень ценно.

Если ограничится для функций f(x), достаточно распространенным, но все же более узким классом гладких функций (под гладкими функциями мы будем понимать такие функции, которые непрерывны вместе со своими производными на интервале изменения аргумента), то можно воспользоваться теоремой Ферма, которая дает необходимые условия существования exst.

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, в) и в точке "с" этого интервала принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует в этой точке двухсторонняя конечная производная , то существования необходимо exst .

Примечание. Двухсторонняя производная характеризуется свойством  иными словами, речь идет о том, что в точке "с" производная в пределе одна и та же при подходе к точке "с" слева и справа, т.е. f(x) – гладкая функция.

^*В случае  имеет место min, а при  → max. Наконец, если при х=х₀ , то использование 2-ой производной не помогает и нужно воспользоваться, например, определением exst.

При решении задачи I необходимые условия exst (т.е. теорема Ферма) используется очень часто.

Если уравнение exst  имеет вещественные корни, то точки, соответствующие этим корням, являются подозрительными на exst (но не обязательно самыми экстремумами, ибо имеем дело с необходимыми, а не с необходимыми и достаточными условиями). Так, например, в точке перегиба Х_п имеет место , однако, как известно, это не экстремум.

Заметим ещё, что:

· из необходимых условий нельзя сказать, какой вид экстремума найден max или min: для определения этого нужны дополнительные исследования;

· из необходимых условий нельзя определить, глобальный это экстремум или локальный.

Поэтому, когда находят точки подозрительные на exst, их дополнительно исследуют, например, на основе определения exst или 2-ой производной.