Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны

 

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

 

 

удовлетворяющее однородным граничным условиям

 

(9)

 

и начальным условиям

 

(10)

 

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

 

 

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

 

(11)

 

и представимое в виде произведения

 

(12)

 

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

 

 

или, после деления на XT,

 

(13)

 

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

 

(14)

 

где  – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

 

(15)

(16)

 

Граничные условия (11) дают:

 

 

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

 

X(0) = X( ) = 0, (17)

 

 

Так как иначе мы имели бы

 

 

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:

 

(18)

 

а также найти эти решения. Такие значения параметра  называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр  отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При  ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

 

 

Граничные условия дают:

 

 

Х (0) = С1 + С2 = 0;

 

т. е.

 

 

Но в рассматриваемом случае  – действительно и положительно, так что . Поэтому

 

С1 =0, С2 = 0

 

и, следовательно,

 

Х (х) 0.

 

2. При  = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

 

Х (х) = С1х + С2.

 

Граничные условия дают:

 

 

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

 

Х (х) 0.

 

3. При  › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

 

 

Граничные условия дают:

 

 

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2 0, поэтому

 

(19)

 

Или

 

 

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

 

 

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

 

 

где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

 

(20)

 

существуют нетривиальные решения задачи (11)

 

(21)

 

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9)

 

(22)

 

где An и Bn – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

 

(23)

 

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

 

(24)

 

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

 

(25)

 

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье

 

(26)

 

где

 

(27)

 

Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

 

(28)

(29)

 

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

 

(30)

 

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция  должна быть дважды дифференцируемой, а  - один раз дифференцируемой.

 

 

Решение уравнений

 

1. Найти решение уравнения:

 

, если , .

 

Решение:

Так как , а , то

 

,

 

где . Таким образом, , или .

2. Найти форму струны, определяемой уравнением  в момент , если

 

3. , .

 

Решение:

Имеем

 

,

 

т.е.

 

, или .

 

Если , то , т.е. струна параллельна оси абсцисс.

4. Струна, закрепленная на концах  и , имеет в начальный момент форму параболы .

 

 

5. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.

Решение:

Здесь , . Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны:

 

; .

 

Для нахождения коэффициента  дважды интегрируем по частям:

 

, , , ;

,

 

т.е.

 

 

, , , ;

 =

.

 

Подставляя выражения для  и  получим:

 

.

 

Если , то , а если , то ; поэтому окончательно имеем

 

 

 

Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках  и , равны нулю, а начальная скорость выражается формулой

 

 

 

Определить форму струны для любого момента времени t.

Решение:

Здесь , а  в интервале ,  и  вне этого интервала.

Следовательно, ;

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

Или