Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный

Университет имени Франциска Скорины

 

Математический факультет

 

 

Кафедра Дифференциальных уравнений

 

Курсовая работа

 

«Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»

 

Гомель 2005

Реферат

 

Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.

Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.

Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.

 

 

Содержание

Введение

Определение вложимой системы. Условия вложимости

Общее решение системы

Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Отражающая функция

Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Заключение

Список использованных источников

 

 

Введение

В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.

В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.

Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.

В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.

 

 

Определение вложимой системы. Условия вложимости

 

Рассмотрим дифференциальную систему

 

D. (1)

 

Будем называть i-ю компоненту x  системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x (t),…, x (t)), t , этой системы функция x t , является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида

, (2)

 

для которого  является решением.

Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента  любого решения  системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений  уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).

Общее решение системы

 

Рассмотрим вложимую систему

 

 (1)

(b>0 и а-постоянные) с общим решением

 

, если с 0;

 

x=0, y=at+c , если с=0, где постоянные с, с , с  связаны соотношением с (b+c +c )=a , имеет два центра в точках и .

 

Решение:

Подставим общее решение

 в нашу систему (1) получим

= =c(c cosct-c sinct)=

a-

 

Для краткости распишем знаменатель и преобразуем

x +y +b=

=

=a+c(c sinct+c cosct)

a-

 

Получаем, что x и y являются общим решением системы.

Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

 

Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x ,…, x ), (t, x)  (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:G R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V  V R, определяемую равенством

 

V  (t, x(t)) t .

Лемма 1.

Для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество

 

V  t .

 

Без доказательства.

Лемма 2.

Дифференцируемая функция U (t, x), U:G R , представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U  в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

 

U

 

Откуда при t=t  получим равенство U (t  справедливое при всех значениях t  и x(t ). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U  при всех (t, x)  Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества

 

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x)  выполняется неравенство.

 

 

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Найдем первый интеграл нашей системы:

 

 

Возведем в квадрат и выразим с

 

y

 

Положим , получим

 

 

Проверим, что функция  – это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества  (2)

Найдем производные по t, x, y

 

 

После выше сделанных преобразований получаем, что функция  – это первый интеграл системы (1),

2) Положим , т.е. ,

 

где , Q

3) Проверим выполнение тождества:

 

 (3), где

 

Преобразуем (3).

 

[в нашем случае ] = = [учитывая все сделанные обозначения] =

=

=

= [ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]

 

Таким образом, тождество (3) истинное.

4. Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

 

 (5)

 

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

 

Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

 

 

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения системы (5) верно тождество

 

 

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

 

3) дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

 

 

и начальному условию