Полная нелинейная модель пространственного движения самолета

Известно, что одним из основных моментов в составлении или разработке математической модели ЛА является принятие различных допущений, упрощающих, схематизирующих реальный процесс. Принятие допущений это инженерная задача, от правильности, решения которой зависит адекватность полученной модели решаемой проблеме в целом.

При выборе модели исходили из следующего ряда основных допущений:

· конструкция самолета считается жесткой;

· масса самолета изменяется в процессе моделирования, но отсутствует жидкое наполнение;

· масса в плоскостях XZ и YZ распределена равномерно, т.е. пренебрегаем центробежными моментами инерции Jxz и Jyz;

· аэродинамика БПЛА нелинейная по углам атаки и скольжения, обтекание БПЛА квазистационарное;

· атмосфера является стандартной;

· вектор суммарного кинетического момента вращающихся частей двигателя БПЛА направлен вдоль оси OX связанной СК.

Рассмотрим поступательное движение летательного аппарата. Уравнение сил в связанной системе координат имеет следующий вид:

,                                                      (1.2.1)

где - главный вектор сил в связанной СК; m – масса летательного аппарата;  - вектор угловых скоростей в связанной СК.

Главный вектор сил , представленный в проекции связанной СК

,                                                                         (1.2.2)

где - вектор силы тяжести в связанной СК;  - вектор силы тяги двигателя в связанной СК; - равнодействующий вектор аэродинамических сил в связанной СК.

Вектор силы тяжести в нормальной системе координат

,                                                                 (1.2.3)

где g = 9.81 м/с2 – ускорение свободного падения.

Вектор силы тяжести в связанной системе координат

.                                                                           (1.2.4)

Аэродинамические силы, действующие на летательный аппарат, определяются конфигурацией ЛА и характером обтекания его воздушным потоком. В связанной СК

,                                                                                 (1.2.5)

где q – скоростной напор; S – площадь крыла самолета; cx, cy, cz – аэродинамические коэффициенты сил.

;                (1.2.6)

;                        (1.2.7)

;                        (1.2.8)

,                                                                                 (1.2.9)

где  - плотность воздуха; ,  - аэродинамические постоянные (Приложение А); e - коэффициент Освальда; M – число Маха; - модуль вектора скорости в связанной СК; ,  - углы атаки и скольжения.

;                                                                             (1.2.10)

,                                                                       (1.2.11)

где l – размах крыла;  - скорость звука на текущей высоте.

Модуль вектора скорости движения ЛА в связанной СК примет следующий вид:

.                                                              (1.2.12)

Углы атаки и скольжения:

;                                                               (1.2.13)

.                                                              (1.2.14)

Положение летательного аппарата в пространстве в нормальной СК

,                                                              (1.2.15)

где матрица перехода от связанной к нормальной СК .

Рассмотрим вращательное движение летательного аппарата. Вектор момента количества движения L в связанной СК

,                                                                       (1.2.16)

где  - вектор момента количества движения; J - матрица моментов инерции БПЛА. В соответствии с принятыми допущениями

.                                                     (1.2.17)

Вращательное движение БПЛА

,                                                              (1.2.18)

где M – главный вектор моментов ЛА. Запишем выражение (1.2.18) в матричном виде

.     (1.2.19)

Действующий на летательный аппарат главный вектор моментов представляет собой сумму вектора аэродинамического момента и гироскопического момента двигателя

,                 (1.2.20)

где - аэродинамический момент; - момент, создаваемый двигателем;  - точка приложения аэродинамической силы;  - точка приложения силы двигателя;  - точка положения центра масс.

Аэродинамический момент

,                                                         (1.2.21)

где  - диагональная матрица характерных линейных размеров ЛА; l – размах крыла; ba – средняя аэродинамическая хорда крыла; mx, my, mz – аэродинамические коэффициенты моментов, определяемые как

;       (1.2.22)

                  (1.2.23)

,     (1.2.24)

где , … - аэродинамические постоянные

Угловые ускорения , ,  соответственно

                                                                                                   (1.2.25)

Матрица перехода от нормальной к связанной СК характеризуется соотношением (1.1.1).

Модель двигателя

Рассмотрим модель двигателя летательного аппарата. Модель двигателя состоит из двух частей – пропеллера и поршневого двигателя. Сила и гироскопический момент, создаваемые двигателем, имеют следующий вид:

;                                                                       (1.3.1)

;                                                         (1.3.2)

.                                                              (1.3.3)

где  - радиус пропеллера;  - угловая скорость вращения пропеллера;  и  - коэффициенты силы тяги и мощности. Составляющая гироскопического момента двигателя , поскольку не совпадает точка приложения силы тяги двигателя и центр масс ЛА.

Коэффициент, характеризующий режим работы винта

.                                                                       (1.3.4)

Угловая скорость вращения пропеллера :

,                                                                       (1.3.5)

где  - момент сопротивления вращения пропеллера;  - вращающий момент поршневого двигателя;  - момент инерции вала двигателя;  - момент инерции пропеллера.

Вращающий момент поршневого двигателя :

,                                                    (1.3.6)

где  - температура на уровне моря;  - температура на текущей высоте;  - всасывание;  - угловая скорость вращения пропеллера в радиан/минуту.

Всасывание топлива :

,                                                      (1.3.7)

где p – давление на текущей высоте;  - нормированный показатель ручки управления дроссельной заслонкой двигателя.

Расход топлива :

,                                                                (1.3.8)

где показывает зависимость расхода топлива от всасывания и угловой скорости вращения пропеллера.