Тема 2. Унификация языка.

 

Для четкого выражения мыслей ученые придумали формальный язык, в котором все осмысленные выражения строятся по определенным правилам из следующих знаков, символов:

Логические знаки " $ Ø Ù Ú Þ Û

вспомогательные знаки ( ),

нульместные функциональные знаки f  f  f  f  …

одноместные функциональные знаки f  f  f  f …

…………………………

нульместные предикатные знаки g  g  g  g …

одноместные предикатные знаки g  g  g  g …

…………………………

переменные c₀ c₁ c₂ c₃ …

Порядок в котором здесь перечислены знаки, называется алфавитным порядком.

Выражением, знакосочетанием, символосочетанием в этом формальном языке называется несколько записанных друг за другом в направлении слева на право знаков.

c, c₀, c₁, … обозначают нульместные функциональные знаки.

f, f₀, f₁, … обозначают функциональные знаки.

g, g₀, g₁, … обозначают предикатные знаки.

u, v, w, u₀, v₀, w₀, u₁, v₁, w₁, … обозначают выражения.

х, y, z, х₀, y₀, z₀, х₁, y₁, z₁, … обозначают переменные.

uv обозначает результат написания выражения v после выражения u.

Термами называются знакосочетания с такими порождающими правилами:

D х

D c

D u₁,…,u_n, f (u₁, … ,u_n). f  n-местный, n¹0.

Обозначения для термов: a, b, a₀, b₀, a₁, b₁, …

Пример индуктивной последовательности термов:

f

c₁

f  (c₁, f )

f  (c₁, c₁, f (c₁, f ))

c₂

f (c₁, f , f (c₁, f ), c₂)

f (c₂)

f (f (c₂))

Высказываниями, соотношениями, формулами называются знакосочетания с такими правилами порождения:

D g здесь g нульместный

D g(а₁,…,а_n) здесь g n-местный, n¹0

D u, "x(u)

D u, $x(u)

D u, Ø(u)

D u, v, (u)Ù(v)

D u, v, (u)Ú(v)

D u, v, (u)Þ(v)

D u, v, (u)Û(v)

Пример индуктивной последовательности формул (на основе термов из предыдущего примера)

g (f , c₁)

g

"c₅(g )

$c₁(g (f , c₁))

Ø("c₅(g ))

g

(g )Ú("c₅(g ))

g (f (c₁, f ), c₂, c₂)

 

Обозначениями для высказываний: p, q, r, s, t, p₀, q₀, r₀, s₀, t₀,…

С целью удобства обозрения формул некоторые скобочные диады можно опускать, принимая соглашение о правосторонней группировке скобок для нескольких одинаковых логических знаков и соглашение об убывании силы связи в алфавитном порядке логических знаков. Пример: pÞqÞr означает (p)Þ((q)Þ(r)), а запись Ø$xpÚqÙr понимается как (Ø($x(p)))Ú((q)Ù(r)). Следует помнить, что любое высказывание с пропущенными парами скобок не является высказыванием формального языка, оно является лишь обозначением соответствующего высказывания.

Нульместные функциональные знаки называются константами. Знакосочетание "x называется квантором всеобщности по х, а $х - квантором существования по х. Начинающееся с предикатного знака высказывание называется предикатом. Высказывание называется элементарным, если оно начинается с квантора или предикатного знака. Высказывание q называется подвысказыванием или компонентой высказывания р, если q есть часть р. Элементарная компонента q высказывания р называется его пропозициональной компонентой, если q имеет хотя бы одно такое вхождение в р, которое не является вхождением в какую-нибудь другую элементарную компоненту высказывания р. Например, высказывание $c₅(g Ùg )Þg  имеет пять компонент: $c₅(g Ùg ), g , g , g Ùg , $c₅(g Ùg )Þg , из которых только первые три являются элементарными, первые две - пропозициональными, только g  и g  - предикатными.

Интерпретация формального языка. Переменная выражает, нотирует, обозначает произвольный объект из некоторого не пустого множества, которое называется денотарием или универсумом данной интерпретации и элементы которого тем самым являются денотатами или значениями переменной. n-местный функциональный знак обозначает n-местную операцию на универсуме. n-местный предикатный знак обозначает изначальную взаимосвязь между любыми n объектами универсума. Термы обозначают объекты универсума, а высказывания обозначают истину или ложь, т. е. денотатами термов являются объекты универсума, а денотатами высказываний являются истина и ложь. Задать интерпретацию формального языка значит задать ее универсум и связанные с ним значения всех нужных нам функциональных и предикатных знаков; тогда значения всех нужных термов и формул при любых значениях фигурирующих в них переменных определяются индукцией по их построению с учетом такой интерпретации логических знаков:

"xp - обобщение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным для всех значений переменной х; синонимы: р для каждого х, р для любого х, р для всех x, р для произвольного х.

$xp - подтверждение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным хотя бы для одного значения переменной х; синонимы: существует х т.ч. р, р для некоторого х.

Øp - отрицание высказывания р является истинным тттк р является ложным; синонимы: не р, неверно что р.

pÙq - конъюнкция высказываний р, q является истинной тттк оба ее конъюнкта р, q являются истинными; синонимы: р и q, и р и q.

pÚq - дизъюнкция высказываний p, q является ложной тттк оба ее дизъюнкта р, q являются ложными; синонимы: р или q, или р или q.

pÞq - импликация высказываний p, q является ложной тттк посылка р является истинной, а заключение q является ложным; синонимы: р только если q, если р то q, q если р, р тогда q, q когда р, для того чтобы р необходимо чтобы q, для того чтобы q достаточно чтобы р, р следовательно q, из того что р следует что q.

pÛq - эквиваленция высказываний р, q является истинной тттк ее части р, q обе являются истинными или обе являются ложными; синонимы: р если и только если q, р тогда и только тогда когда q, для того чтобы р необходимо и достаточно чтобы q, р эквивалентно q.

Замечание. Иногда высказывания записывают на смеси формального, обычного и математического языка. Все такие записи будем рассматривать как обозначения соответствующих высказываний формального языка.

Замечание. Введение обозначений для высказываний порождает двусмысленность в использовании знака равенства, поскольку сами высказывания являются некоторыми обозначениями, а именно обозначениями истины или лжи. При наличии иерархии обозначений такую двусмысленность обычно снимают соглашением о том, что равенство понимается как равенство между исходными объектами. Т. о. равенство p=q означает, что р и q имеют одинаковые истинностные значения т. е. являются равносильными.

Пример. Каждый кулик свое болото хвалит.

Универсум - множество куликов и болот

g (x) - х есть кулик

g (x) - х есть болото

g (x, у) - х хвалит у

g (x, у) - у свое для х

 

"c₁((((g (c₁))Ù(g (c₂)))Ù(g (c₁, c₂)))Þ(g (c₁, c₂)))

        

Пример. Сумма квадратов двух положительных чисел меньше квадрата их суммы.

Универсум - множество положительных чисел.

f (x) - квадрат числа x

f (x, y) - сумма чисел x, y

g (x, y) – x меньше y

 

g (f (f (c₁), f (c₂)), f (f (c₁, c₂)))

 

Можно записать по-другому:

универсум - множество действительных чисел

f  - число 0

((g (f , c₁))Ù(g (f , c₂)))Þ(g (f (f (c₁), f (c₂)), f (f (c₁, c₂)))

Пример. Только я один знаю об этом.

Универсум – множество людей

f  - я

g (x) - x знает об этом

g (x, y) - x идентичен y

 

(g (f ))Ù("c₁((Ø(g (c₁, f )))Þ(Ø(g (c₁))))

Никто не знает об этом: "c₁(Ø(g (c₁)))

Все знают об этом: "c₁(g (c₁))

Кто-нибудь знает об этом: $c₁(g (c₁))

        

Пример. Здесьхолодно, но не сыро: (g )Ù(Ø(g ))

Пример. Ни p ни q: Øp и Øq

Пример. Если p то q иначе r: (pÞq)Ù(ØpÞr)

Пример. p либо q: pÙØqÚØpÙq

Пример. p поэтому q: pÙ(pÞq)

Пример. Чай без сахара не сладкий и не вкусный.

g  - чай содержит сахар

g  - чай сладкий

g  - чай вкусный

(Ø(g ))Þ((Ø( g ))Ù(Ø( g )))

 

Возможен другой перевод:

((Ø(g ))Þ(Ø( g )))Ù((Ø( g ))Þ((Ø( g )))

 

Пример. Его отец слесарь, а все братья токари.

Универсум – множество мужчин

f  - он

f (x) - отец для x

g (x) - x есть слесарь

g (x) - x есть токарь

g (x, y) - x идентичен y

 

(g (f (f )))Ù("c₁(((Ø(g (c_1, f )))Ù(g (f (c₁), ( f (f ))))Þ(g (c₁))))