Формулы преобразования и матрицы преобразования.

Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом. Аффинная координатная система, или аффин­ный репер о пространстве, есть тройка некомпланарных векто­ров  данных в определенном порядке и приложенных к точке О — началу репера.

Тройка векторов называется иногда базисом репера или координатной системы.

Если наряду с репером который будем условно назы­вать «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом  то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора u) в одной из двух систем координат найти координаты той же Точки (того же вектора) в другой системе.

Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы  своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты  в равенствах

                                                                                      (1)

Матрица

называется матрицей перехода от базиса  к базису  а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы  линейно независимы, то детерминант матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы  образуют базис, то каждый из векторов  в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векто­ров

                                                                                          (1’)

 - уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых еди­ничных векторов

Посмотрим, как связаны между собой координаты x , у, г и  х', у', г' произвольной точки М (произвольного вектора u = ОМ) в старой и новой координатных системах.

Вектор и=ОМ записывается, во-первых, как линейная комби­нация векторов  с коэффициентами х, у, г и, во-вторых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х', у', г', так что имеем тождество

 Вносим в это тождество выражения  из (1); получаем

Но вектор u единственным образом представляется как линейная комбинация векторов , следовательно, коэффициенты при векторах  в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е.

                                                                         (2)

Эти формулы и выражают старые координаты х, у, г точки М (вектора u ) через новые. Матрица

                                                                               (3)

дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А* перехода от базиса  к базису . Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант.

2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера  к реперу  сводится к комбинации двух случаев переноса начала и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами и  еще третий, «промежуточный», имеющий начало О' = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и базис  ; координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через х", у", z ". Тогда х= x ₀ + х", у= y ₀ + у", z = z ₀ + z ", где х", у", z " выражаются через х', у', z ' по формулам (2) (в которых, естественно, надо х, у, z (слева) соответственно заменить на х", у", z ". Получаем окончательно:

в пространстве:

                                                               (4₃)

на плоскости

                                                                            (4₂)

Это н есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица

коэффициентов в равенствах (4₃) соответственно (4₂) называется матрицей преобразования координат.

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой

Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно огра­ничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными.

Лемма. Пусть  и — два ортогональных репера на плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол  можно перевести репер  либо в репер  либо в репер  (рис. 59 и 60). Другими словами: репер  получается из репера либо поворотом, либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор ).

Доказательство. Репер определяет некоторое поло­жительное направление вращения плоскости, а именно то направ­ление, в котором угол от ортаe₁ до орта e₂ равен  (а не ).

Обозначим через  угол от орта e₁ до орта е₁^’. Повернув репер  (в его плоскости) в положительном направлении на угол , мы совместим орт e₁ с ортом е₁^’; тогда орт e₂, будучи перпенди­кулярен к орту e₁, либо совместится с ортом (рис. 59), либо

совместится с противоположным ему ортом —  (рис. 60). Утверж­дение доказано.

Из доказанного следует, что относительно базиса e₁ , e₂ орт имеет координаты cos  , sin :

тогда как для  имеем две возможности:

либо

т.е

либо

и тогда

Матрица перехода от базиса  к базису  имеет вид:

в первом случае

                                                              (I)

во втором

                                                         (II)

Базисы и называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированными.

Так как detC = l в случае одноименных, detC= -1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так:

Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детер­минант отрицателен.

Формулы преобразования координат даются матрицами, транс­понированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы:

 в случае однименных базисов,

 в случае разноименных базисов.