Уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если его общее реше-

ние(общий интеграл) может быть получено(получен) в результате конечной последовательнос-

ти элементарных действий над известными функциями и интегрирования этих функций.

Таких уравнений сравнительно немного, рассмотрим некоторые виды дифференциальных урав-

нений, интегрируемых в квадратурах.

I. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными; уравнения, приводящиеся

к уравнениям с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

 

                                                                                                                 (7)

 

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

 - известные непрерывные функции.

 

                                                                                                       (8)

 

Это общий интеграл данного дифференциального уравнения (7).

Уравнение вида

 

                                                                                               (9)

 

в котором коэффициенты при дифференциалах являются произведениями функций, завися-

щих только от какой-то одной переменной, называется уравнением с разделяющимися пере-

менными.

 

Разделим левую и правую части уравнения (9) на произведение , получим урав-

нение с разделенными переменными:

 , тогда общий интеграл уравнения (9) имеет в

                                             (10)

 

Деление на  может привести к потере решений, которые обращают в ноль данное

произведение, поэтому надо делать проверку.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. , делим левую и правую части на , получаем

 или , тогда

, пропотенцируем данное равенство, получим

- это общий интеграл исходного уравнения.

Уравнение вида

 

                                                                                                            (11),

где  - известная непрерывная функция;  - константы, называется приводящимся к

уравнению с разделяющимися переменными.

Чтобы привести данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, надо сделать

следующую замену:

                                                                                                                   (12),

 тогда , а , подставляем в уравнение (11), получаем

или , данное уравнение является уравнением с разделяющимися

переменными, разделим переменные:   или , тогда его общий интеграл имеет вид:  или .

Затем заменяем  на  и получаем общий интеграл для уравнения (11).

Пример 6. Найти общее решение уравнения .

Решение. Сделаем замену , тогда  или , подставляем в исходное

уравнение, получаем   или , , разделяем переменные:

, тогда , следовательно,

, возвращаемся к переменной :

 или  - это общее решение исходного уравнения.

Лекция 2.

II. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.

 

Определение 13. Функция  называется однородной функцией -ой степени однород-

ности, если при любых допустимых значениях  справедливо равенство

 

                                                                                                              (13)

 

Пример 7. Рассмотрим функцию . Данная функция является однородной

степени однородности 2, так как

.

Пример 8. Функция  однородная степени однородности 0, так как

.

 

Определение 14. Уравнение                                                        (14)

называется однородным, если функции  являются однородными одинаковой

степени однородности.

Однородное уравнение еще может записываться следующим образом

 

                                                                                                                       (15)

Решаются однородные дифференциальные уравнения с помощью замены:

, тогда ,  (для уравнения (14)),  ( для уравнения

(15)). После замены уравнение станет уравнением с разделяющимися переменными  и .

 

Пример 9. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Уравнение можно записать следующим образом . Сделаем соответствую-щую замену и подставим в уравнение, получим:

 или , разделяем переменные, тогда ; интегрируем

, получаем  или .

Теперь вернемся к прежней переменной   или  - это общий

интеграл исходного уравнения.

 

Определение 15.  Уравнение                                                                      (16),

где - константы, причем  называется уравнением, приводящимся к

однородному.

 

В случае, когда , уравнение (16) будет являться однородным.

Рассмотрим следующие случаи:

1.

Введем новые переменные   и    следующим образом:

                                                                                                                            (17),

где  пока неопределенные константы, , тогда уравнение (16) примет вид

Если подобрать  таким образом, чтобы

                                                                                                              (18),

то есть   являются решением системы (18), тогда получим однородное уравнение:

 

                                                                                                                (19)

Найдем его общий интеграл, а затем вернемся к старым переменным и получим общий ин-

теграл уравнения (16).

 

2.  , это означает, что строки определителя пропорциональны, то есть

, значит уравнение (16) имеет вид: 

                                                                                                     (20)

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой

.

Аналогично интегрируется уравнение

 

                                                                                                    (21),

где - заданная непрерывная функция.

Пример 10. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Так как , для приведения данного уравнения к однородному

надо сделать замену, для этого сначала решим систему:

 , получим .

Тогда сделаем следующую замену , подставляем в исходное уравнение, получаем

или  - это однородное уравнение, для его решения сделаем

замену   или , , подставляем в однородное уравнение, получа-

ем   или .

Преобразуем полученное уравнение, чтобы можно было разделить переменные:

, тогда

 или , а после потенцирования получаем

.

Сначала вернемся к переменной :  или , теперь вер-

немся к переменным :   или

 - это общий интеграл исходного уравнения.

 

Пример 11. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Так как , то это уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися

переменными. Сделаем замену , тогда   или . Подставляем в

уравнение, получаем:  или . Разделяем переменные , тогда

  или , после потен-

цирования получаем:  ; возвращаемся к переменной :

 - это общий интеграл исходного уравнения.

 

 

III. Линейные неоднородные уравнения, уравнения Бернулли.

Определение 16. Уравнение 1-ого порядка, линейное относительно неизвестной функции и

ее производной, называется линейным уравнением.

 

Линейное уравнение имеет вид:

 

                                                                                                              (22),

 

где  - функции, заданные на некотором промежутке .

Если , то уравнение (22) называется линейным однородным; если , то уравне-

ние (22) называется линейным неоднородным.

 

Теорема 2. Если функции  непрерывны на отрезке , то уравнение (22) всегда

имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , где т.

принадлежит полосе .

Доказательство. Разрешим уравнение (22) относительно производной, то есть в виде уравнения

(3): , тогда , данная функция удовлетворяет условиям

теоремы 1, а именно, она непрерывна и по переменной  и по переменной  в силу условий теоремы и свойств непрерывных функций; частная производная функции по : ,

 так как частная производная непрерывна отрезке, то она ограничена на данном отрезке.

Следовательно, по теореме 1 уравнение (22) имеет единственное решение, удовлетворяющее

указанным начальным условиям.

 

Метод вариации произвольной постоянной.

 

Рассмотрим метод решения линейного неоднородного уравнения, который называется методом

вариации произвольной постоянной.

1. Сначала решаем линейное однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному

Оно одновременно является и уравнением с разделяющимися переменными, разделим перемен-

ные и проинтегрируем равенство:

, пропотенцируем данное

равенство, получим - это общее решение линейного однородного уравнения.

2. Теперь будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде:

, где - неизвестная функция. Тогда

Подставляем функцию и ее производную в уравнение (22), получаем

или .

Теперь разделяем переменные и интегрируем:

Следовательно, общее решение уравнения (22) имеет вид:

.

 

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Решение. Линейное однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному

. Разделяем переменные и интегрируем: ,

потенцируем полученное равенство, получаем .

Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде: . Тогда

. Подставляем все в исходное уравнение, получаем:

. Разделяем переменные и интегрируем

. Подставляем найденную

функцию, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения

.

 

Определение 17. Уравнение вида                                                             (23),

где  называется уравнением Бернулли.

 

Сначала разделим левую и правую части уравнения (23) на , получим

                                                                                                           (24)

Теперь сделаем замену:            

                                                                                                                          (25)

Тогда , подставляем в уравнение (24), получаем:

                                                                                                      (26)

Уравнение (26) является линейным неоднородным относительно функции . Решаем его, а

затем возвращаемся к переменной .

 

Замечание. Если , то уравнение (23) имеет еще решение .

 

Пример 13. Найти общее решение уравнения .

Решение. Разделим левую и правую части уравнения на , получаем: .

Сделаем замену , тогда  или , подставляем в уравнение, полу-

чаем: . Это линейное неоднородное уравнение. Сначала решаем линейное

уравнение, соответствующее данному неоднородному, то есть , оно является

уравнением с разделяющимися переменными, поэтому разделяем переменные и интегрируем:

. Потенцируем полученное равенство:

. Будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде: , тогда . Подставляем в неоднородное уравнение, получаем:

. Теперь разделяем переменные и интегрируем:

, тогда

. Возвращаемся к переменной , следовательно, общее ре-

шение исходного уравнения   и еще одно решение, не входящее в этот на-

бор .

 

 

IV. Уравнения в полных дифференциалах.

 

Определение 18.  Уравнение                                                          (27)       

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным диф-

ференциалом некоторой функции  двух независимых переменных.

 

Дифференциал функции двух переменных , тогда  - это общий

интеграл уравнения (27).

 

Теорема 3. Пусть функции  имеют непрерывные частные производные в неко-

торой области  плоскости . Для того, чтобы уравнение (27) было уравнением в полных

дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

 

                                                                                                                                    (28)

 

Доказательство. 1. Необходимость: пусть левая часть уравнения (27) является полным диффе-

ренциалом некоторой функции двух переменных , тогда

, следовательно, .

Первое равенство продифференцируем по , второе – по , получаем

. Так как частные производные  непрерывны (по условию), то

смешанные производные  тоже непрерывны, а значит, в силу свойства смешанных

производных они равны; следовательно, выполняется равенство (28).

2. Достаточность: Пусть выполняется равенство (28); покажем, что существует функция

 такая, что .

Так как в этом случае , проинтегрировав это равенство по , получим

. Продифференцируем полученное равенство по , учитываем, что

 и получаем . Найдем функцию .

                                                                                           (29)

Левая часть этого равенства не зависит от , убедимся, что и правая часть тоже не зависит

 от , для этого продифференцируем правую часть по , получаем .

Интегрируем (29) по , получаем

, следовательно,

.

Получили искомую функцию.

 

Пример 14. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. В данном уравнении . Проверим выполнение

равенства (28): , то есть равенство (28) выполняется, следовательно,

данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения –

полный дифференциал некоторой функции двух переменных . Тогда ,

проинтегрируем это равенство по , получаем: .

Найдем , получаем . Так как , то имеет место

следующее равенство: , отсюда , тогда .

Значит общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

.

 

Теперь все рассмотренные уравнения 1-ого порядка и методы их решения сведем в таблицу.

 

Таблица 1.

Тип уравнения 1-ого порядка	Метод решения
1. Уравнение с разделенными переменными	1. - общий интеграл
2. Уравнение с разделяющимися перемен- ными	2. -общий интеграл Проверка функций, удовлетворяющих равенству
3. Уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными	3. Замена ,
4. Однородное уравнение ,где - однородные функции оди- наковой степени однородности или	4. Замена , или
5. Уравнение, приводящееся к однородном  или	5. а) , замена , где - решение системы       б) , замена
6. Линейное неоднородное уравнение	6. а) решается линейное однородное уравне- ние : -общее решение; б) общее решение неоднородного уравне- ния ищется в виде

 

7. Уравнение Бернулли      , где	7. Делим на , замена , тогда , получаем линейное неодно- родное уравнение
8. Уравнение в полных дифференциалах , где	8. , функция удовлетворяет уравнению

 

 

Лекция 3.