Отношения эквивалентности на числовой прямой

Пусть задано отношение  на множестве . В случае, когда  – числовая прямая, отношение  отождествляется с некоторым подмножеством числовой плоскости, т.е. прямого произведения . В этом параграфе будут рассмотрены геометрические свойства множества  на плоскости в случае, когда отношение  есть эквивалентность.

Согласно определению 1.2.1 отношение  называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Каждое из этих свойств порождает некоторое геометрическое свойство множества . Координаты точки на плоскости будем обозначать .

1. Рефлексивность. Из того, что  для всех , следует, что множество  содержит главную диагональ (свойство ).

2. Симметричность. Симметричность означает, что если , то и , т.е. что множество  симметрично относительно главной диагонали (свойство ).

3. Транзитивность. Транзитивность означает, что если  и , то и . Точка  является четвертой вершиной прямоугольника, три вершины которого находятся в точках  и . Заметим, что вершина  лежит на биссектрисе координатного угла – главной диагонали координатной плоскости. Поэтому геометрически свойство транзитивности можно сформулировать следующим образом:

Множество  на плоскости определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого  лежит на главной диагонали, а две соседние с  вершины принадлежат , вершина , противоположная , также принадлежит  (свойство ).

Замечание. Если отношение  является симметричным, то геометрическая формулировка транзитивности несколько упрощается. А именно:

Множество  на плоскости, симметричное относительно главной диагонали, определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две другие принадлежат , четвертая вершина также принадлежит  (свойство ).

Разница с предыдущим утверждением состоит в том, что вершины, принадлежащие , не обязаны быть соседними с вершиной, лежащей на диагонали. Покажем, что для симметричного  свойство , влечет . Пусть, например, вершина, лежащая на диагонали, имеет координаты  и  и ; покажем, что . В самом деле, в силу симметрии, вместе с  имеем . Если в качестве вершины на диагонали взять теперь , а в качестве соседних с ней вершин, принадлежащих ,  и , то, в силу свойства  получаем .

Заметим, что класс эквивалентности, содержащий точку , есть проекция пересечения множества  и прямой  на ось ординат.

Сейчас мы приведем некоторые примеры множеств на плоскости, определяющих отношение эквивалентности.

1 Пример. (тривиальный). Множество  вся плоскость. Выполнение свойств , ,  очевидно. Все точки исходной прямой  отождествляются, т.е. входят в один класс эквивалентности.

Замечание. Для любого , если множество , определяющее отношение эквивалентности, содержит полосу , то оно совпадает со всей плоскостью. В самом деле, вместе с любой точкой  множество  содержит все внутренние точки квадрата с вершинами , , , , т.е. полосу . Ясно, что таким образом свойство "принадлежать " распространяется на все точки плоскости.

2 Пример. (периодичность). Возьмем которое число. Пусть множество  состоит из прямых , где  – произвольное целое число. Выполнение свойств  и  очевидно, и если , , то .

3 Пример. "Все константы равны единице, кроме нуля". (Такое утверждение высказал И.М. Гельфанд на одной из своих лекций.) В этом примере множество  есть вся плоскость с выброшенными осями координат и добавленным началом координат. Иначе говоря,  всегда, кроме случая ,  и ему симметричного. Если точки ,  принадлежат , то либо , и тогда , , либо , и тогда  и . В обоих случаях .

4 Пример. (Все целые числа равны друг другу.) Множество  состоит из главной диагонали и всех точек с целыми координатами.

Очевидно, можно рассматривать и конечные варианты такой эквивалентности типа

5 Пример. (Все числа, не большие единицы по модулю, равны друг другу.) Множество  состоит из диагонали и замкнутого единичного квадрата. Очевидно, множество, состоящее из открытого (или полузамкнутого: ) квадрата, также дает эквивалентность.