Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

Реферат

Тема: «Решение задач с параметрами»

Выполнила ученица 10 класса МОУ СОШ №1 г.Карталы Челябинской области, Алтынбаева Дарина.

 

Оглавление.

Введение.

1. Аналитический способ решения задач с параметрами.

1.1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

1.3. Системы линейных уравнений с параметрами.

 

2. Применение графического способа при решении задач с параметрами.

Заключение.

Список литературы.

Введение.

                                                                       Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические

уравнения: приведением их к

самому простому виду.

 

Толстой Л. Н. “Круг чтения”.

 

Толковый словарь определяет параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров - это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Выполняя данную работу, я ставила цель расширить свои математические представления о приёмах и методах решения задач с параметрами, развивать логическое мышление и навыки исследовательской деятельности.

В своем реферате я рассмотрела основные типы задач с параметрами:

· уравнения и их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;

· уравнения и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра;

· уравнения и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений.

В первой части моего реферата я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения уравнений и систем уравнений с параметрами, а во второй – графический метод.

Я думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче ЕГЭ по математике.

 

Аналитический способ решения задач с параметрами.

Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнение с параметром задает множество уравнений.

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

· исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

· найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

 

Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если а 0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х= .

Если а=0 и в=0, переписав исходное уравнение в виде ах=-в, легко видеть, что любое х является решением линейного уравнения.

Если а=0 и в 0, то линейное уравнение не имеет корней.

 

Пример 1. Решить уравнение с параметром:

 

1) ах=0.

Решение. Если а=0, то 0 х=0; х - любое действительное число.

                Если а 0, то х = = 0.

Ответ: если а=0, х - любое действительное число;

        если а 0, то х = 0.

 

 

2) х + 2 = ах.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду х(1-а) = -2.

                 Если 1-а =0,т.е. а=1, то получим уравнение х 0=-2, которое не    имеет корней.

                 Если 1-а 0,т.е. а 1, то уравнение имеет единственный корень

 х= .

Ответ: если а 1, то х= ;

        если а=1,то уравнение не имеет корней.

3) (а² -1)х=2 а² + а -3.

Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1).

                   Если а=1, то уравнение принимает вид 0 х=0, его решением является любое действительное число.

                    Если а=-1, то уравнение принимает вид 0 х=-2, это уравнение не имеет решений.

                   Если а 1, то уравнение имеет единственное решение х= .

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Ответ: если а=1, то х- любое действительное число;

       если а=-1, то уравнение не имеет решений;

       если а 1, то х= .

 

 

Пример 2. Решить относительно х уравнение

 

+  = .

 

Решение. Из условия следует, что (а-1)(х+3) 0, т.е. а 1, х -3.

Умножив обе части данного уравнения на (а-1)(х+3), получим уравнение

3ах-5+ (3а-11)(х+3)=(2х+7)(а-1), или х(4а-9)=31-2а.

При а 2,25 х= .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х=-3.

=-3 при а=-0,4.

Таким образом, при а 2,25, а 1 и а -0,4 данное уравнение имеет единственное решение х= .

При а=2,25, а=-0,4 и а=1 уравнение решений не имеет.

 Замечание: если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение не верно.

Ответ: если а 2,25, а 1 и а -0,4, то х= ;

       если а=2,25, а=-0,4 и а=1,то уравнение решений не имеет.

 

 

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений?

 6(ах-1)-а=2(а+х)-7.

Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1.

Если 3а-1 0,т.е. а , то х= .

Если 3а-1=0, т.е. а= , то уравнение примет вид 2х 0=0, его решением является любое число.

Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а= .

 

 

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

 

=2а.

Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8.

Если 5+2а 0,т.е. а - , то х= .

Если 5+2а =0,т.е. а =- , то уравнение примет вид х 0=-18, это уравнение не имеет решений.

Ответ. уравнение не имеет решений при а =- .