РАССЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Определение начальных и конечных условий в цепях с нулевыми начальными условиями

 

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с нулевыми начальными условиями. Результаты вычислений внести в таблицу.

Данные для рассчета приведены в таблице 2.1:

Таблица 2.1

R1, Ом	R2, Ом	С, Ф	С1, Ф	L, Гн	L1, Гн	Е, В
4	12	1/12	-	6/5	-	8

 

Рис. 2.1 Схема индивидуального варианта.

 

Решение.

2.1.1 Начальные условия

Переходной процесс в схеме начинается в момент включения ключа К. До этого момента времени все токи и напряжения равны нулю.

 

2.1.2 Расчёт начальных условий .

Изобразим эквивалентную схему цепи для времени . Так как это цепь с нулевыми начальными условиями, то индуктивность  заменим разрывом, а емкость – перемычкой (рисунок 2.2).

 

Рис. 2.2 Эквивалентная схема цепи для времени .

 

В этой схеме

 

; .

 

Тогда по закону Ома:

 

.

 

Напряжения на сопротивлениях R₁ и R₂ :

 

,

.

 

Тогда напряжение на индуктивности:

 

.

Контроль вычислений.

Формулы для контроля вычислений:

 

; ;  .

 

Тогда:

 

	1-ый закон Кирхгофа выполняется
	2-ой закон Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров выполняется.

2.1.3 Расчёт конечных условий

После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме (рисунок 2.1) будут постоянными. Тогда ёмкость C в эквивалентной схеме заменяется разрывом, а индуктивность L перемычкой (рисунок 2.3).

 

Рис. 2.3 Эквивалентная схема цепи для времени .

 

 

Контроль вычислений.

 

	1-ый закон Кирхгофа выполняется
	2-ой закон Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров выполняется.

Таблица 2.2 Результаты вычислений

t	0 –	0+	¥
i1 , A	0	2	0
i2 , A	0	0	0
i3 , A	0	2	0
uL , B	0	8	0
uС , B	0	0	8
uR1 , B	0	8	0
uR2 , B	0	0	0

 

С учетом НУ и КУ можно качественно построить графики (рисунок 2.4).

 

Рис. 2.4 Качественные графики.

Определение переходных процессов классическим методом

 

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить классическим методом напряжения и токи переходного процесса. Построить графики переходных процессов.

2.2.1 Решение дифференциального уравнения для тока на емкости

 

 

Принужденная составляющая тока на индуктивности , поэтому

 

 

2.2.2 Определение корней  и

Для определения корней характеристического уравнения  и  составляется эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 2.5), далее находится операторное входное сопротивление и приравнивается к нулю ( ).

 

Рисунок 2.5 Эквивалентная операторная схема цепи.

Операторное сопротивление емкости , а индуктивности , тогда

 

 

Условие  выполняется, если числитель равен нулю:

 

 

корни этого уравнения:

 

;

 

Подставим значения  и  в уравнение для :

 

 

2.2.3 Определение произвольных постоянных  и

Используем значение самой функции  и ее производной  при , т.е. учтем начальные условия. Учитывая, что  :

 

,

 

откуда получаем первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Для получения второго уравнения найдем (при ) значение :

 

 

откуда получаем второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Совместное решение двух уравнений

 

 

 

дает значения произвольных постоянных:

После подстановки произвольных постоянных в выражение для  получаем:

Контроль вычислений

При ,

При ,

Это соответствует данным таблицы 1.

Расчет остальных токов и напряжений:

A ) Напряжение

 

: .

 

Контроль вычислений: ; .

Б)Напряжение

 

 

Контроль вычислений:

В) Напряжение :

 

.

 

Контроль вычислений: ; .

Г) Ток :

 

.

 

Контроль вычислений: ; .

Д) Ток :

 

.

 

Контроль вычислений: ; .

Е) Напряжение :

 

.

Контроль вычислений: ; .

Результаты вычислений:

 

,

,

,

,

,

,

.

Построение графиков

электрическая цепь операторный

Для построения графиков переходного процесса воспользуемся ЭВМ.

Рис. 2.6 Зависимость тока i 1 от времени.

Рис. 2.7 Зависимость тока iL от времени.

Рис. 2.8 зависимость тока i 3 от времени.

Рис. 2.9 Зависимость напряжения на ёмкости U с от времени.

Рис. 2.10 Зависимость напряжения на индуктивности UL от времени.

Рис. 2.11 Зависимость напряжения на резисторе UR 1 от времени.

Рис. 2.12 Зависимость напряжения на резисторе UR 2 от времени.