II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

Примерное содержание.

1. Алгоритм решения уравнений вида Ах=В.

Решением является любое действительное число	При А=0 и В=0
Нет решений	При А=0,
Единственное решение	При

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ: при  и   - единственное решение уравнения:

при    - нет решений

при    - любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:                                         

Решение.

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

,

.

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , тогда получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи: а) 2в – 1 = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, 

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 3. Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  

 Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой 

части.

Рассмотрим случаи: а) 4 – а = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в 

уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,  

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, 

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 4. Если  и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим  

       - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений

Не имеет.

Ответ: при  и   - единственное решение уравнения:

при ,  или ,  - любое действительное число

при ,  или ,     - нет решений.