Приведение задачи к канонической форме

Содержание

 

 

1. Постановка задачи 1.1. Физическая постановка задачи 1.2. Математическая постановка задачи   2. Приведение задачи к канонической форме 3. Нахождение начального опорного плана с помощью L-задачи 3.1. Постановка L-задачи 3.2. Решение L-задачи 3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи   4. Решение исходной задачи I алгоритмом симплекс-метода 5. Формирование М-задачи 6. Решение М-задачи вторым алгоритмом симплекс-метода 7. Формирование двойственной задачи 8. Формирование оптимального решения двойственной задачи на основе теоремы о двойственности 9. Анализ результатов и выводы

 

Постановка задачи

 

Физическая (техническая) постановка задачи

Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката:

- 400 тыс. л. алкилата;

- 250 тыс. л. крекинг-бензина;

- 350 тыс. л. бензина прямой перегонки;

- 250 тыс. л. изопентона;

В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:

- Бензин А – 2 : 3 : 5 : 2 ;

- Бензин В – 3 : 1 : 2 : 1 ;

- Бензин С – 2 : 2 : 1 : 3 ;

Стоимость 1 тыс.л. указанных сортов бензина:

- Бензин А – 120 руб.

- Бензин Б – 100 руб.

- Бензин С – 150 руб.

Необходимо определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость все продукции. При следующих условиях:

- Бензина каждого сорта должно быть произведено не менее 300 тыс..л.

- Неиспользованного крекинг бензина должно остаться не более 50 тыс.л.

 

Сводная таблица условий задачи:

 

Компоненты, используемые для производства трёх видов бензина.	Сорта производимого бензина			Объем ресурсов (тыс. л)
	А	В	С
Алкилат				400
Крекинг-бензин				250
Бензин прямой перегонки				300
Изопентат				250
Цена бензина (рублей за 1 тыс.л.)	120	100	150

 

 

Математическая постановка задачи

Исходя из условий задачи, необходимо максимизировать следующую целевую функцию:

                                             (1.2.1)

При ограничениях

                                                       (1.2.2)

, где

В этих выражениях:

 - объемы бензина А-го, В-го и С-го сорта соответственно.

Тогда

объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине А.

объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине В.

объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине С.

 и т.д.

Целевая функция  выражает стоимость всей продукции в зависимости от объема производимого бензина каждого сорта. Таким образом, для получения максимальной стоимости продукции необходимо максимизировать целевую функцию  (1.2.1) с соблюдением всех условий задачи, которые накладывают ограничения (1.2.2) на .

 

Приведение задачи к канонической форме

 

Задача линейного программирования записана в канонической форме, если она формулируется следующим образом.

Требуется найти вектор , доставляющий максимум линейной форме

                                                                                (2.1)

при условиях

                                                                                 (2.2)

                                                                                           (2.3)

где

 

Перепишем исходную задачу (1.2.1) - (1.2.2):

 

                                             (2.4)

При ограничениях

                                                       (2.5)

     , где                                                                                                          (2.6)

В канонической форме задачи линейного программирования необходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, а все остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задаче обязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2), обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).

Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям (2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) - (2.6) к канонической форме мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесем свободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, от старых переменных  перейдем к новым переменным , где :

, .

Выразим теперь старые переменные через новые

,                                                                                   (2.7)

и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства (2.5), (2.6). Получим

 

 

         , где .

Раскрывая скобки и учитывая, что

                                           (2.8),

можем окончательно записать:

 

                                                    (2.9)

 

                                                       (2.10)

     , где                                                                                                             (2.11)

 

 

Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2) свели к задаче (2.9) - (2.11) с меньшим числом ограничений.

 

Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введем неотрицательные дополнительные переменные , и задача (2.9) - (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:

 

                                                       (2.12)

                              (2.13)

     , где                                                                            

 

Задача (2.12), (2.13) имеет каноническую форму.

 

3. Нахождение начального опорного плана с помощью L -задачи

 

Начальный опорный план задачи (2.1) - (2.3), записанной в канонической форме, достаточно легко может быть найден с помощью вспомогательной задачи (L-задачи):

 

                                                                              (3.1)

                                                                      (3.2)

                                                                                    (3.3)

 

Начальный опорный план задачи (3.1) - (3.3) известен. Он состоит из компонент

 

                                               

 

и имеет единичный базис Б = = E .

Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы сверху на множестве своих планов ( ) получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи.

Пусть - оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда  является опорным планом исходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные . Значит, удовлетворяет условиям исходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) - (2.13). По построению план является также опорным.

 

Постановка L -задачи

 

Вспомогательная задача для нахождения начального опорного плана задачи (2.12) - (2.13) в канонической форме состоит в следующем.

Требуется обратить в максимум

при условиях

, где .

рассматривая в качестве исходного опорного плана план

Здесь добавление только одной дополнительной переменной  (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

 

Решение L -задачи

 

Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составим таблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).

Т.к. Б₀ = - базис, соответствующий известному опорному плану , является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов А_j по базису Б₀

.

Значение линейной формы  и оценки  для заполнения (m+1)-й строки таблицы определяются следующими соотношениями:

,

.

Отсюда получим:

 

;

;

;

…

.

 

Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1, которая состоит из 2 частей, отвечающих 0-й (исходная таблица) и 1-й итерациям.

Заполняем таблицу 0-й итерации.

Среди оценок  имеются отрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдем к новому базису. В базис будет введен вектор А₁ с наименьшей оценкой . Значения t вычисляются для всех позиций столбца t (т.к. все элементы разрешающего столбца положительны). Наименьший элемент  достигается на пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, и вектор А₉ подлежит исключению из базиса.

Составим таблицу, отвечающую первой итерации.

В столбце Б_х, в пятой позиции базиса место вектора А₉ занимает вектор А₁. Соответствующий ему коэффициент линейной формы С₄₁ = 0 помещаем в столбец С_х. Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии с рекуррентными формулами. Так как все , то опорный план  является решением L-задачи. Наибольшее значение линейной формы равно .

 

Таблица 3.2.1

 

 

3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана L -задачи

 

Поскольку , где - оптимальный опорный план L-задачи, то является начальным опорным планом исходной задачи (2.12) - (2.13).