МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

 

УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ В НОВОЙ МОДЕЛИ МИКРОКОНВЕКЦИИ

 

Направление                                                                                        

                                                      (код и наименование направления)

Магистерская программа                                                                  

                                                                             (наименование программы)

Выпускник                           ____________/ А.В. Семенов

                                                                 (подпись, дата)  

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, 

профессор                                       ____________/ В.К. Андреев                                                                                               (подпись, дата)  

 

_________ /______________ (подпись)   (Ф.И.О.) «___» ________20___ г.   _________ /______________ (подпись)   (Ф.И.О.) «___» ________20___ г.

 

Красноярск 2011

Приложение 6

 

Образец титульного листа выпускной квалификационной работы магистра при условии двух руководителей

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт математики

Базовая кафедра математического моделирования и процессов управления

 

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

_________ /_____________

(подпись) инициалы фамилия  

 «___» ________2011 г.

 

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

 

УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ В НОВОЙ МОДЕЛИ МИКРОКОНВЕКЦИИ

 

Направление                                                                                        

                                                      (код и наименование направления)

Магистерская программа                                                                  

                                                                             (наименование программы)

Выпускник                                            ____________/ А.В. Семенов

                                                                 (подпись, дата)  

 

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, 

профессор                                       ____________/ В.К. Андреев                                                                                               (подпись, дата)  

 

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, 

профессор                                       ____________/  А.Н. Блинов

                                                                            (подпись, дата)    

 

Красноярск 2011

 

Приложение 7

 

Образец оформления задания на диссертацию

 

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Институт математики

Базовая кафедра математического моделирования и процессов управления

 

ЗАДАНИЕ
на магистерскую диссертацию

1. Тема диссертации                                                                                     

утверждена приказом по университету №___________ от ______________

2. Цель работы                                                                                              

3. Основные требования и исходные данные                                              

                                                                                                                   

4. Научная и практическая ценность ожидаемых результатов                         

5. Способ реализации результатов работы                                                 

6. Перечень (примерный) основных вопросов, которые должны быть рассмотрены в диссертации                                                                                                     

7.  Календарный график выполнения

Наименование и содержание этапа	Срок выполнения

 

8. Перечень (примерный) графического и иллюстративного материала         

 

 

Руководитель работы

доктор физико-математических наук, 

профессор                                        ____________/ В.К. Андреев

                                                                           (подпись)

 

 

Дата выдачи задания «___» _______________ 2010 г.

Задание принял к исполнению

Студент гр. _______        ____________/__________

                                          (подпись)   (Ф.И.О.)

 

 

Приложение 8

 

Образец оформления содержания

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение..............................................................................................	3
1 Основные понятия и теоремы функционального анализа и   дифференциальных уравнений...........................................................................................	5
1.1 Основные определения........................................................................................	5
1.2 Принцип максимума...........................................................................................	9
1.3 Теорема Арцела............................................................................................................. .............................................................................................................	11
2 Задача идентификации функции источника и коэффициента      при производной по пространственной переменной в параболическом уравнении.........................................................................................	17
2.1 Постановка задачи..................................................................................................	17
2.2 Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой            задачи..........................................................................................	19
2.3 Доказательство разрешимости вспомогательной задачи..........................................................................................	24
2.4 Построение решения исходной задачи..................................................................................................	29
Заключение............................................................................................................. .............................................................................................................	36
Список использованных источников..........................................................................................	37
Приложения........................................................................................	38

 

           

 

 

Приложение 9

 

Образец введения

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов и других, приводят к обратным задачам.

Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 40-50 лет в связи с их важным прикладным значением. Они находят приложения при решении задач мониторинга окружающей среды, управления процессами, планирования разработки нефтяных месторождений, при создании новых процессов, аппаратов и др.

 Задача идентификации коэффициентов при нелинейном члене и производной по времени для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью достаточно общего вида была исследована в работе [1].

Задачи идентификации коэффициентов (коэффициентные обратные задачи) уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались М.М. Лаврентьевым [2-4], Ю.Е. Аниконовым [5], А.И. Прилепко [6-8], А.М. Денисовым [9], В. М. Исаковым [10,11], В. Л. Камыниным [12], Н. Я. Безнощенко [13,14], Ю. Я. Беловым [15], Г. А. Кирилловой [16-18] и другими авторами.

 Цель бакалаврской работы – исследовать на разрешимость задачу идентификации функции источника и коэффициента при производной по пространственной переменной в одном параболическом уравнении.

На основе условий переопределения заданная обратная задача приводится к прямой задаче для нагруженного уравнения. Доказывается однозначная разрешимость прямой задачи в предположении достаточно гладких входных данных.

Решение исходной обратной задачи выписывается в явном виде через решение прямой задачи. На этой основе доказывается теорема существования и единственности классического решения обратной задачи.

Приложение 10

 

Пример оформления текста работы

 

Основные понятия и теоремы функционального анализа и дифференциальных уравнений

Основные определения

 

Пример 1.1. Для решения на отрезке [0,T] задачи Коши

                                                (1.1)

применим разностную схему дробных шагов

                                 (1.2)

где – значение приближенного решения в точке  

– в точке n=0,1,…, N-1; N t = T; N>1, N- целое.

Если исключить из соотношения (1.2) , получим так называемую схему в целых шагах:

  

Отсюда следует, что  и, значит, совпадает с точным решением задачи (1.1) в точках

Схему (1.2) можно трактовать следующим образом: на первом дробном шаге решается уравнение  на втором – уравнение  В целом же решается задача Коши

                                               (1.3)

где                   n=0,1,…, N-1.

Ниже на рис. 1.1 показаны сравнительные графики функций  и решений  задач (1.1), (1.3) соответственно.

        

Рис. 1.1. Графики функций  и решений

 

Легко заметить, что функции  аппроксимируют функцию в том смысле, что при любых  из [0,T]

 при

В то же время,  то есть имеет место равномерная сходимость  к  на отрезке [0,T].

 

 

Приложение 11

 

Образец оформления текста работы

 

Теорема Арцела

 

Лемма 1.1 (Неравенство Гронуолла). Пусть неотрицательная, измеримая и ограниченная на отрезке [0, ] функция c(t) удовлетворяет неравенству

где постоянные A, B, C ≥ 0. Тогда, если B > 0, то при 0 ≤ t ≤  имеет место оценка

                                              (1.10)

Если B = 0, то c(t) ≤ С+At .

Доказательство неравенства (1.10) в основном повторяет доказательство леммы 1 гл. I в [20].

Определение 1.1. Говорят, что функции множества M равномерно ограничены в С( ), если существует постоянная K, такая, что || f || ≤ K для всех f M.

Определение 1.2. Говорят, что функции множества M равностепенно непрерывны в , если для любого e > 0 существует d = d ( e ) >0, такое, что для любых , , удовлетворяющих неравенству | – | < d, имеет место неравенство | f( ) – f( ) | < e, выполняющееся сразу для всех f M.

Теорема 1.1 (Арцела). Для того чтобы множество M С( ) было компактно в С( ), необходимо и достаточно, чтобы функции из M были равномерно ограничены в С( ) и равностепенно непрерывны в .

Доказательство. Пусть множество M компактно вС( ). Докажем, что функции из M равномерно ограничены в С( ) и равностепенно непрерывны в .

Приложение 12

 

Образец заключения

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В дипломной работе получены следующие результаты:

1. на основе условий переопределения заданная обратная задача была приведена к прямой вспомогательной задаче Коши;

2. доказана однозначная разрешимость прямой задачи в предположении достаточно гладких входных данных;

3. выписано решение исходной обратной задачи в явном виде через решение прямой задачи;

4. доказана теорема существования и единственности классического решения обратной задачи.

Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

 

 

Приложение 13

Образец приложения

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица 1 - Относительные погрешности численных решений при

Тест	Максимальная относительная погрешность  %	Максимальная относительная погрешность  %	Максимальная относительная погрешность  %
N1	0,004	0,004	0,09
N2	0,02	0,1	0,14
N3	0,002	0,1	0,35
N4	0,012	0,03	0,32
N5	0,004	0,004	0,09
N6	0,02	0,1	0,14
N7	0,002	0,1	0,35
N8	0,012	0,03	0,32
N9	0,004	0,004	0,09
N10	0,02	0,1	0,14
N11	0,002	0,1	0,35
N12	0,012	0,03	0,32
N13	0,012	0,03	0,32
N14	0,004	0,004	0,09
N15	0,02	0,1	0,14
N16	0,002	0,1	0,35
N17	0,012	0,03	0,32

 

 

 

Приложение 14

 

Структура отзыва научного руководителя о выпускной квалификационной работе специалиста

 

ОТЗЫВ
научного руководителя на дипломную работу

Фроленкова Ильи Владимировича

 

“Численная идентификация нескольких коэффициентов системы

дифференциальных уравнений”