Построим аддитивную модель временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

. (4.3)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.

Процесс построения аддитивной модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( )
4. Аналитическое выравнивание уровней ( ) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений ( ).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Шаг 1 . Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

1.4. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними.

Шаг 2 . Используем оценки сезонной компоненты для расчета значений сезонной компоненты (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

0,5292-1,93333-1,258333+2,725=0,0625

Корректирующий коэффициент: k=0.0625/4=0.015625.

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты ( )

0.5135-1.9489-1.274+2.7=0

Шаг 3 . Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины

Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4 . Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T=5.345+0.2292647*t.

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени.(см. таблицу выше)

Шаг 5 . Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 100% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Y=a+b*t

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

Таким образом:

Т.е. в первые два квартала следующего года следовало ожидать потребления порядка 10 и 8 единиц электроэнергии соответственно.