Тема 5. Векторная алгебра

Тема 1. Комплексные числа

1.1. Вычислить

Записать действительную и мнимую части комплексного числа.

1.2. Найти x и yÎR:

1.3.Извлечь корень из комплексного числа

 

1.4. Вычислить, ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах:

1.5. Изобразить область на комплексной плоскости, задаваемую неравенством:

 

1.6. Вычислить, ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах:

Тема 2. Многочлены

2.1. Выполнить деление с остатком

 на

2.2. Не осуществляя деления и не используя схему Горнера найти остаток от деления полинома на

2.3. Определить кратность корня полинома

.

Разложить полином на множители.

2.4. Разложить полином  по степеням , используя схему Горнера.

2.5. Построить полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, если его корни:

 кратности 1,кратности 1 и кратности 2.

2.6. Найти НОД двух полиномов

 и

2.7. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы M₁(x) и M₂(x) так, чтобы f(x)M₁(x) + g(x)M₂(x) = d(x), где d(x) – НОД полиномов f(x) и g(x),  и .

2.8. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы M₁(x) и M₂(x) так, чтобы f(x)M₁(x) + g(x)M₂(x) = 1, где  и .

 

Тема 3. Матрицы и определители

3.1.Вычислить определитель

a) ,

b)

c)

3.2. Вычислить ранг матрицы  методом окаймления миноров.

3.3. Найти обратную матрицу к матрице A:

a)

 

b)

3.4.* Вычислить A², если

, при

3.5. Вычислить

a)

B )

 

Тема 4. Системы линейных уравнений

4.1. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений:

4.2. Найти фундаментальную систему решений для СЛОУ

4.3. Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений:

 

4.4. Исследовать систему уравнений на совместность, используя метод исключения неизвестных

 

На оценку «3» будет система с меньшим количеством переменных.

 

Тема 5. Векторная алгебра

5.1. Вычислить проекцию вектора  на ось вектора , если  и .

5.2. Векторы  и  образуют угол 60°, причем , . Определить угол между векторами  и .

5.3. Вычислить синус угла, образованного векторами  и .

5.4. Зная векторы, образующие треугольник: , , , где  и  взаимно перпендикулярные орты, определить внутренние углы этого треугольника.

5.5. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты СН треугольника с вершинами в точках ,  и .

5.6. Векторы  и  образуют угол 120°, причем , . Определить угол между векторами  и .

5.7. Будут ли компланарными векторы ,  и ?

5.8. Найти разложение вектора  по базису состоящему из векторов , , .

5.9. Векторы  и  взаимно перпендикулярны. Зная, что , , вычислить  при условии, что , .

5.10. Средствами векторной алгебры вычислить площадь треугольника АВС, если , .

5.11. Даны координаты точек , , , D(2, 1,0). Вычислить , , .

5.13. Определить, будет ли параллелограмм, построенных на приведенных к общему началу векторах   и как на сторонах, прямоугольником или ромбом, если  и  взаимно перпендикулярные орты.

5.14. Из 4 векторов найти три компланарных, три базисных, а для небазисного вектора найти координаты в выбранном базисе.

5.15. Найти высоту тетраэдра ABCD, опущенную из вершины С, если вершины заданным своими координатами.