Пример 3 - решить дифференциальное уравнение

Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем,дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят осистеме дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).

Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор-функцией), изменяющихся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэфициентами. .

На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменнымии линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение:
Что в первую очередь следует проанализировать при решении любогодифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

В данном примере переменные

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение:

вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:

Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:

В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.

Уравнение вида:

y'+p(x)у=q(х) (10)

где р(х) и q(х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если q(х) = 0, то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением. Если q(х)≠0, то уравнение (10) называется линейным неоднородным уравнением.
Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть применен метод вариации постоянной. В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения:

у'+р(х)у=0 (11)

соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Уравнение (11) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

=-p(x)dx ⇒ ln|y|=-∫p(x)dx+ln|C₁|

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция , а правая часть — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

Дифференциальные уравнения вида называются линейными. высшей математике существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.

Метод Бернулли

Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: . Функцию выбирают из условия . Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию. .

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида называется линейным дифференциальными уравнениями. Для его решения обычно используют метод вариации постоянной. Для этого сначала необходимо решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.Полученное общее решение этого уравнения надо подставить в исходноеобыкновенное дифференциальное уравнение, неоднородное дифференциальное уравнение, считая, что . Затем необходимо решить полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции и подставить его решение в ранее полученную формулу .

Чтобы решить уравнение Бернулли вида

необходимо сделать замену переменной . После замены будет получено линейное дифференциальное уравнение.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции.

Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x₀, y₀) , x₀∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

Классическое и статистическое определение вероятности

По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.

Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.

Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равновозможности" исходов.

Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.

По тем же соображениям симметрии считаются равновозможными исходы такого эксперимента, как вынимание тщательно перемешанных и неотличимых на ощупь белых и черных шаров так, что после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательного перемешивания производится извлечение следующего шара.

Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, какими являются азартные игры.

Таким образом, классическое определение вероятности связано с понятием равновозможности и используется для экспериментов, сводящихся к схеме случаев. Для этого необходимо, чтобы события e₁, e₂, e_n были несовместными, т. е. никакие два из них не могут появиться вместе; такими, что образуют полную группу, т. е. они исчерпывают собой все возможные исходы (не может быть так, что в результате опыта ни одно из них не произошло); равновозможными при условии, что эксперимент обеспечивает одинаковую возможность появления каждого из них.

Не всякий эксперимент удовлетворяет схеме случаев. Если нарушается условие симметрии, то нет схемы случаев.

Формула (1.1), "классическая формула", применялась для вычисления вероятностей событий с самого начала появления науки о случайных явлениях.

Те опыты, которые не обладали симметрией, "подгонялись" под схему случаев. В настоящее время наряду с "классической формулой" существуют способы вычисления вероятностей, когда эксперимент не сводится к схеме случаев. Для этого используется статистическое определение вероятности.

Понятие статистической вероятности будет введено позднее, а сейчас вернемся к классической формуле.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Решение. Случайное событиеА - появление хотя бы одного герба.

Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e₁, e₂, e₃, e₄. Таким образом,

E=e₁, e₂, e₃, e₄; n=4.

Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e₁, e₂, e₃; их число m=3.

Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем .

Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, где e_i - появление одного шара (белого или черного);

E={e₁, e₂, e₃, e₄, 5, e₆, e₇}, n=7.