Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции в точке и на отрезке.

 

Пусть функция определена в точке  и в некоторой окрестности этой точки.

Определение функции, непрерывной в точке. Функция  называется непрерывной в точке , если:                                             

1. функция  определена в точке  и ее окрестности;

______________________________________________

2. существует конечный предел функции  в точке ;

______________________________________________

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.:

 

 

Пример.  Исследовать на непрерывность функцию (самостоятельно).

Решение. Проверяем первое условие: ___________________________________________________

___________________________________________________________________________________

 

Проверяем второе условие: ____________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

 

Проверяем третье условие: ____________________________________________________________

________________________________________________________________________

Определение функции, непрерывной на интервале____________________________________

Функцию  называют непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в любой точке этого интервала.

__________________________________________________

Определение функции, непрерывной на отрезке. Функцию    называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех точках интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, т.е. , в точке b непрерывна слева, т.е. ________________

Классификация точек разрыва.

Определение точек разрыва функции Точки, в которых нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называются точками разрыва функции ._______________

Точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого и второго рода.

1) Разрыв первого рода.

 

Определение. Точка  называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные односторонние пределы слева и справа, но в самой точке функция не определена._____________

Разрывы первого рода разделяются на два типа разрывов.

 

а) Устранимый разрыв                                               б) Скачок функции

Пример                                                                    Пример                                                                  

                                Функция                                                 Функция

 

                                                                 

                                                                 

2) Разрыв второго рода.

Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, по крайней мере, один из односторонних пределов (левый или правый) равен бесконечности или не  существует___________

Пример                                                                    Пример                                                                  

                                       

                                       

§.10 Асимптоты графика функции

Определение 1. Аси́мпто́та – прямая, проведённая к кривой и обладающая тем свойством, что расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность (рис.).

 

Из определения асимптоты графика функции получаем следующие определения.

 

 Определение 2. Вертикальной асимптотой графика функции  называется  прямая вида , если в точке  выполняется хотя бы одно из условий:

или .

Пример. Найти вертикальную асимптоту графика функции .

Решение. Условия 1 и 2 Определения 2 будут выполняться в точках   и , следовательно, вертикальными асимптотами графика заданной функции будут являться прямые и .

Определение 3. Горизонтальной асимптотой графика функции  называется прямая    (где если при  (или  функция  имеет конечный предел, равный числу b:

.

Пример. Найти горизонтальную  асимптоту графика функции .

Решение. Находим предел , аналогично . Следовательно, горизонтальной асимптотой будет прямая .

Определение 4. Наклонной асимптотой графика функции  называется прямая , для которой

,       .

Здесь  - уравнение самой функции.

Замечание. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи  и .

Пример.  Найти асимптоты графика функции .  Используя найденные асимптоты схематически построить график заданной функции.

y

7

Решение. 1)  Вертикальная асимптота будет расположена в точке . Для этой точки:

      ;   .

 

x

7

2

2)  Находим горизонтальные асимптоты:

;           

горизонтальных асимптот нет.

 

 3) Находим наклонные асимптоты :

Очевидно, что и при , и при  значение предела будет одно и то же.

; 

.

 

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты: .

Строим полученные асимптоты и «прикидываем», как по ним может пройти график функции. Для этого нам достаточно найти пару точек, принадлежащих графику, до вертикальной асимптоты и после неё:

х	0	4	Получили две точки:
у	0		А(0;0) и В (4;18)