Две последних цифры степени.

Введение.

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1¹⁹⁸⁹ + 2¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁸⁹ + 5¹⁹⁸⁹ +…+ 1989¹⁹⁸⁹.

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

 

 

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

 

Цели работы:

· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

· Найти закономерность в них.

· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

 

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

 

21 = 2 25 = 32 29 = 512

22 = 4 26 = 64 210 = 1024

23 = 8 27 = 128 211 = 2048

24 = 16 28 = 256 212 = 4096

 

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

В самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

 

Закономерности возведения в степень:

· Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

· Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

· При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

· Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

· Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень	02	03	04	05	06	07		08		09		10
Х2	04	09	16	25	36	49		64		81		00
Х3	08	27	64	25	16	43		12		29		00
Х4	16	81	56	25	96	01		96		61
Х5	32	43	24		76	07		68		49
Х6	64	29	96		56			44		41
Х7	28	87	84		36			52		69
Х8	56	61	36					16		21
Х9	12	83	44					28		89
Х10	24	49	76					24		01
Х11	48	47	04					92		09
Х12	96	41						36
Х13	92	23						88
Х14	84	69						04
Х15	68	07						32
Х16	36	21						56
Х17	72	63						48
Х18	44	89						84
Х20	88	67						72
Х21	76	01						76
Х22	52	03						08
Х23	04
Повтор	20	20	10	1	5		4		20		10	1

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень	11	12	13	14	15	16		17		18		19	20
Х2	21	44	69	96	25	56		89		24		61	00
Х3	31	28	97	44	75	96		13		32		59	00
Х4	41	36	61	16	25	36		21		76		21
Х5	51	32	93	24		76		57		68		99
Х6	61	84	09	36		16		69		24		81
Х7	71	08	17	04				73				39
Х8	81	96	21	56				41				41
Х9	91	52	73	84				97				79
Х10	01	24	49	76				49				01
Х11	11	88	37	64				33				19
Х12		56	81	96				61
Х13		72	53					37
Х14		64	89					29
Х15		68	57					93
Х16		16	41					81
Х17		92	33					77
Х18		04	29					09
Х20		48	77					53
Х21		76	01					01
Х22		12	13					17
Х23
Повтор	10	20	20	10	2		5		20		4	10	1

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.

 

 

Степень	21	22	23	24	25	26		27		28		29	30
Х2	41	84	29	76	25	76		29		84		41	00
Х3	61	48	67	24	25	76		83		52		89	00
Х4	81	56	41					41		56		81
Х5	01	32	43					07		68		49
Х6	21	04	89					89		04		21
Х7		88	47					03		12		09
Х8		36	81					81		36		61
Х9		92	63					87		08		69
Х10		24	49					49		24		01
Х11		28	27					23		72		29
Х12		16	21					21		16
Х13		52	83					67		48
Х14		44	09					09		44
Х15		68	07					43		32
Х16		96	61					61		96
Х17		12	03					47		88
Х18		64	69					69		64
Х20		08	87					63		92
Х21		76	01					01		76
Х22		72	23					27		28
Х23		84
Повтор	5	20	20	2	1		1		20		20	10	1

 

Степень	31	32	33	34	35	36		37		38		39	40
Х2	61	24	89	56	25	96		69		44		21	00
Х3	91	68	37	04	75	56		53		72		19	00
Х4	21	76	21	36	25	16		61		36		41
Х5	51	32	93	24		76		57		68		99
Х6	81		69	16		36		09		84		41
Х7	11		77	44		96		33		92		99
Х8	41		41	96		56		21		96		61
Х9	71		53	64				77		48		79
Х10	01		49	76				49		24		81
Х11	31		17	84				13		12		59
Х12			61	56				81		56		01
Х13			13					97		28		39
Х14			29					89		64
Х15			57					93		32
Х16			81					41		16
Х17			73					17		08
Х18			09					29		04
Х20			97					73		52
Х21			01					01		76
Х22			33					37		88
Х23										44
Повтор	10	4	20	10	2		5		20		20	10	1

 

Степень	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Х2	81	64	49	36	25	16	09	04	01	00
Х3	21	88	07	84	25	36	23	92	49	00
Х4	61	96	01	96		56	81	16
Х5	01	32	43	24		76	07	68
Х6	41	44		56		96	29	64
Х7		48		64		16	63	72
Х8		16		16			61	56
Х9		72		04			67	88
Х10		24		76			49	24
Х11		08		44			03	52
Х12		36					41	96
Х13		12					27	08
Х14		04					69	84
Х15		68					43	32
Х16		56					21	36
Х17		52					87	28
Х18		84					89	44
Х20		28					83	12
Х21		76					01	76
Х22		92					47	48
Х23		64
Повтор	5	20	4	10	1	5	20	20	2	1

 

 

Степень	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Х2	01	04	09	16	25	36	49	64	81	00
Х3	51	08	77	64	75	16	93	12	79	00
Х4		16	81	56	25	96	01	96	61
Х5		32	93	24		76	57	68	99
Х6		64	29	96		56		44	41
Х7		28	37	84				52	19
Х8		56	61	36				16	21
Х9		12	33	44				28	39
Х10		24	49	76				24	01
Х11		48	97	04				92	59
Х12		96	41	16				36
Х13		92	73					88
Х14		84	69					04
Х15		68	57					32
Х16		36	21					56
Х17		72	13					48
Х18		44	89					84
Х20		88	17					72
Х21		76	01					76
Х22		52	53					08
Х23								64
Повтор	2	20	20	10	2	5	20	20	10	1

 

Степень	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
Х2	21	44	69	96	25	56	89	24	61	00
Х3	81	28	47	44	25	96	63	32	09	00
Х4	41	36	61	16		36	21	76	21
Х5	01	32	43	24		76	07	68	49
Х6	61	84	09	36		16	69		81
Х7		08	67	04		56	23		89
Х8		96	21	56			41		41
Х9		52	23	84			47		29
Х10		24	49	76			49		01
Х11		88	87	64			83		69
Х12		56	81				61
Х13		72	03				87
Х14		64	89				29
Х15		68	07				43
Х16		16	41				81
Х17		92	83				27
Х18		04	29				09
Х20		48	27				03
Х21		76	01				01
Х22		12	63				67
Х23		44
Повтор	5	20	20	10	1	5	20	4	10	1

 

 

Степень	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
Х2	41	84	29	76	25	76	29	84	41	00
Х3	11	48	17	24	25	76	33	52	39	00
Х4	81	56	41	76			41	56	81
Х5	51	32	93				57	68	99
Х6	21	04	89				89	04	21
Х7	91	88	97				53	12	59
Х8	61	36	81				81	36	61
Х9	31	92	13				37	08	19
Х10	01	24	49				49	24	01
Х11	71	28	77				73	72	79
Х12		16	21				21	16
Х13		52	33				17