Числовые характеристики системы двух СВ. Коррелированность

Как и для одной СВ, для системы двух СВ можно использовать начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется МО произведения: ; .

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется МО произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин.

Для непрерывных СВ –

,

.

Первый начальный момент есть МО для соответствующей СВ X или Y.

Аналогично имеются и вторые центральные моменты системы СВ:  и , которые характеризуют степень разбросанности случайной точки вдоль осей x и y соответственно.

Особую роль в статистической радиотехнике играет второй смешанный центральный момент  = K_XY - корреляционный момент.

Для непрерывных СВ корреляционный момент выражается формулой

.

Этот момент, кроме рассеивания СВ, характеризует и взаимозависимость СВ X и Y. При этом, если СВ X и Y независимы, то . Докажем это предположение: если СВ X и Y независимы, , то последний интеграл распадается на два независимых интеграла, в которых имеется произведение двух первых центральных моментов. Эти моменты равны нулю.

Чтобы исключить влияние разбросанности СВ на корреляционный момент, его делят на произведение среднеквадратических отклонений СВ X и СВ Y. Получается безразмерная величина, имеющая название "коэффициент корреляции": . Если СВ X и СВ Y независимы, то всегда  Значит, независимые СВ всегда некоррелированы, однако обратное не всегда верно. Коррелированность характеризует не всякую взаимозависимость, а лишь линейную статистическую взаимозависимость. Это означает, что при возрастании одной СВ МО другой имеет тенденцию возрастать (или убывать) в среднем по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень разбросанности координат точки относительно линейной зависимости между X и Y. Если СВ X и Y имеют линейную функциональную зависимость, то коэффициент корреляции равен ±1, в зависимости от знака наклона этой функции. При этом говорят о положительной или отрицательной корреляции.

Во многих радиотехнических устройствах имеются типовые радиотехнические тракты, состоящие из трех каскадно соединенных элементов: входной линейной цепи, нелинейного безынерционного элемента и выходной линейной цепи. В качестве этих элементов могут выступать различные электрические цепи с заданными характеристиками. На вход радиотехнического тракта воздействует аддитивная смесь сигнала и помехи:

,

где s (t) - сигнал в виде гармонического или квазигармонического колебания; x (t) - гауссов процесс с равномерной спектральной плотностью мощности (белый или квазибелый шум).

Известно [2], что в таких условиях при решении задачи обнаружения критерием качества работы устройства может служить отношение сигнал/помеха, которое определяется тремя выражениями:

система случайная величина

отношение сигнал/помеха по уровню , где A_s - амплитуда сигнала;  - дисперсия шума;

отношение сигнал/помеха по мощности ;

энергетическое отношение сигнал/помеха , где  - энергия сигнала;  - спектральная плотность мощности помехи (белого или квазибелого шума).

Если длительность сигнала , то , а , где  - ширина энергетической полосы квазибелого шума.

Плотность вероятности сигнала (со случайной начальной фазой)

, , а шума - .

Если сигнал и помехи независимы, то , и плотность вероятности их смеси определяется интегралом свертки:

.

Произвольное число СВ

Часто приходится иметь дело в статистической радиотехнике с системами многих СВ. В этом случае полной характеристикой системы СВ может служить закон распределения всей системы СВ. Например, имеется многоканальная в пространстве антенная система, с помощью которой прием ведется в нескольких точках пространства. При этом и обработка сигналов в приемных пунктах производится совместно. Для представления законов распределения системы более чем трех СВ приходится использовать многомерное пространство. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности в этом случае обеспечивается n-мерной производной (n - число СВ, входящих в систему).

Вероятность попадания координат случайной точки в ограниченное пространство n-мерной системы определяется n-кратным интегрированием по этому пространству плотности вероятности.