Решить  задачу линейного программирования симплекс-методом.

Решение.

Перед применением симплекс-метода необходимо преобразовать систему линейных ограничений и рассматриваемую нами функцию к  каноническому  виду.

Все свободные члены системы ограничений неотрицательны, значит, выполнено одно из необходимых условий применения симплекс-метода. Осталось  все условия системы представить в виде  уравнений. Для этого к левой части 1-го неравенства системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную  , к левой части 2-го неравенства прибавляем неотрицательную переменную   , а к левой части 3-го - неотрицательную переменную  , тем самым мы преобразуем неравенства в равенства:

Определимся с начальным опорным решением. Наличие единичного базиса в системе ограничений позволяет легко найти его.

Переменная  входит в уравнение 1 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом 0, т.е.  - базисная переменная. Аналогично переменные   и  являются базисными. Остальные  переменные являются свободными. Приравняв свободные переменные к  0  в системе ограничений, получаем  опорное решение:

 = ( 0 , 0 , 1 , 3 , 2 ).

Теперь непосредственно составим таблицу:

Базисные переменные						Свободные переменные	Отношение
	2	-1	1	0	0	1	-
	1	3	0	1	0	3	1
	1	-2	0	0	1	2	-
J(x)	-2	-3	0	0	0	0	-

В качестве ведущего выступает 2-ой столбец, поскольку -3 - наименьший элемент в строке J(x). За ведущую строку принимаем строку 2, т. к. отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2-ой строки является наименьшим из неотрицательных. Разделим элементы 2-ой строки на 3, чтобы получить в качестве ведущего элемента 1:

Базисные переменные						Свободные переменные	Отношение
	2	-1	1	0	0	1	-
		1	0		0	1	1
	1	-2	0	0	1	2	-
J(x)	-2	-3	0	0	0	0	-

Взяв за ведущий выделенный элемент, проведем соответствующие преобразования.

От элементов строки 1 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.

От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -2.

От элементов строки J(x) отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3. В результате   имеем:

Базисные переменные						Свободные переменные	Отношение
		0	1		0	2
		1	0		0	1	3
		0	0		1	4
J(x)	-	0	0	1	0	3	-

За ведущий столбец выберем столбец 1 ( по тому же правилу) , а за ведущую строку - строку 1. Разделим элементы 1-ой строки   на :

Базисные переменные						Свободные переменные	Отношение
	1	0			0
		1	0		0	1	3
		0	0		1	4
J(x)	-1	0	0	1	0	3	-

Взяв за ведущий выделенный элемент, проведем соответствующие преобразования.

От элементов строки 2 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на

От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на .

От элементов строки J(x) отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1. В результате имеем:

Базисные переменные						Свободные члены	Отношение
	1	0			0		-
	0	1	-		0		-
	0	0	-		1		-
J(x)	0	0			0		-

Мы  получили строку J(x), состоящую только из неотрицательных элементов. Значит,   оптимальное  решение  найдено, = (  ,  , 0 , 0 ,  ).

J(x) =  -  -  

Поскольку  и  по условию неотрицательны, наибольшее значение функции равно свободному члену, т. е. .