Кривые второго порядка

 

Определение. Параболой называется множество точек  плоскости (см. рис.7а), для каждой из которых расстояние до данной точки  (фокуса параболы) равно расстоянию до некоторой данной прямой  (директрисы). Расстояние  от фокуса параболы до директрисы называется параметром параболы. Парабола – симметричная кривая; точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы.

Каноническое уравнение параболы в декартовой системе координат: .

Определение. Эллипс есть множество точек  плоскости (см. рис.7б), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и  (фокусов) постоянна и равна .

Отрезок  называется фокусным расстоянием и обозначается через . Середина  есть центр эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы эллипса, называется первой осью эллипса. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно его первой оси, называется второй осью эллипса. Оси эллипса являются его осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.  – большая ось эллипса,  – малая ось.

Директрисой эллипса, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная первой оси и отстоящая от центра эллипса на расстояние , где  – эксцентриситет эллипса.

Каноническое уравнение эллипса в декартовой системе координат: , где  и  – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.

 

Определение. Гиперболой называется множество точек  плоскости (см. рис.8) , модуль разности расстояний которых до двух данных точек  и  (фокусов гиперболы) постоянен и равен . Фокусное расстояние  обозначают через . Прямая, на которой лежат фокусы, называется действительной (или фокальной осью) гиперболы. Прямая, проходящая через центр гиперболы , перпендикулярно к действительной оси, называется

мнимой осью.

 

 

Директрисой гиперболы, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная к действительной оси, отстоящая от центра на расстояние  и лежащая от центра по одну сторону с фокусом, где  – эксцентриситет.

Гипербола имеет две асимптоты, заданные уравнениями .

Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат: ,

где  и  – половины сторон основного прямоугольника гиперболы.

Пример 9. Определить вид линии второго порядка, заданной уравнением

.

Решение. Выделим полные квадраты по х и по у, получим:

,

,

,

т.е. имеем гиперболу, центр которой лежит в точке , .

Полярные координаты. Для точки  в плоскости Oxy ее полярные координаты определяются парой чисел , где  – длина вектора , а  – угол наклона вектора  к полярной оси (положительного направления оси Ox),  – длина вектора .

 

 

Декартовые и полярные координаты связаны следующими соотношениями:

.