Дифференциальные уравнения равновесия

 

Пусть  — произвольный объём тела ограниченный замкнутой поверхностью .

Вектор массовых сил, отнесённый к единичному объёму, обозначим , а вектор поверхностных сил, действующих на единичную площадь , где — нормаль к поверхности в данной точке.

Главный вектор внешних сил, действующих на тело, состоящий из главного вектора объёмных сил равен нулю:

 

 

Спроектируем это равенство на ось X:

 

 

Используя первую из формул (4) и учитывая (3) получим

 

 

С помощью формулы Грина-Остроградского преобразуем поверхностный интеграл к объёмному.

 

 

Т.к. условия равновесия должны соблюдаться для любого объёма, то подынтегральная функция должна быть равной нулю в любой точке тела. Аналогичным образом, проектируя векторное равенство (*) на оси Y и Z получим систему дифференциальных уравнений равновесия.

 

Деформированное состояние в точке

 

Деформированное состояние в точке определяется тензором деформаций. Т.е. удлинение в данной точке по любому направлению может быть вычислено, если заданы удлинения по трём взаимно перпендикулярным осям и углы сдвига по трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормалями к которым служат оси.

Тензор деформаций выглядит

 

 

Здесь , , — деформации относительного удлинения в направлении соответствующих осей.

,…, — углы сдвига в соответствующих координатных плоскостях.

Связь между компонентами тензора деформаций и перемещениями

 

Рассмотрим малый элемент, который в процессе деформации изменил свою конфигурацию. На рисунке показана одна из граней, совпадающая с плоскостью осей X и Y:

 

 

аналогично

Угол сдвига — это угол, на который изменится первоначально прямой угол, т.е.

 

 

Аналогично определяется и другие компоненты тензора деформаций. Итак! Соотношения Коши:

 

; ; ;

; ;

 

Шесть компонент тензора деформаций выражаются через три компоненты вектора перемещения. Отсюда следует, что компоненты тензора деформаций не являются независимыми. И в самом деле, они связаны соотношениями называемыми уравнениями совместности деформаций.

Условиям совместности деформаций можно придать следующий смысл. Разрежем тело на малые элементы, деформируем каждый из элементов в отдельности и соберём из деформированных элементов тело. Тогда, если деформации правильные, т.е. удовлетворяющие уравнениям совместности, то собранное тело не будет иметь разрывов и пустот.

 

Обобщённый закон Гука

 

Будем основываться на известном нам законе Гука для одноосного состояния

 

,

 

и принципе независимости действия сил.

Обратим внимание на такой факт, что с точностью до малых высшего порядка, нормальные напряжения не вызывают сдвигов, а в свою очередь касательные напряжения не вызывают удлинений.

Рассмотрим малый элемент (рис.50).

Воспользуемся принципом независимости действия сил.

1) Пусть действуют только напряжения .

 

, тогда ;

 

2) ; ; ;

3) ; ; ;

 

При совместном действии всех трёх напряжений

 

 

Аналогично определяется и деформации  и .

В результате получаем уравнения называемые обобщённым законом Гука.

 

;

;

;

 

К таким уравнениям нужно добавить ещё три соотношения

 

; ;

 

Три дифференциальных уравнения равновесия, шесть соотношений Коши и шесть соотношений обобщённого закона Гука составляют систему уравнений теории упругости, в которых неизвестными будут шесть компонент тензора напряжений, шесть компонент тензора деформаций и три компоненты перемещения.