Задачи на максимум и минимум

 

Неиссякаемые россыпи драгоценных задач на максимум и минимум таятся в недрах древнейшей из математических наук — геометрии. [4, 30]

Многие задачи на максимум и минимум связаны с понятиями вписанной и описанной окружности выпуклой фигуры.

Определение 1.3.1. Описанной окружностью плоской фигуры Ф называется наименьшая окружность, заключающая Ф внутри себя.

Определение 1.3.2. Вписанной окружностью выпуклой фигуры Ф называется наибольшая окружность, целиком заключающаяся внутри Ф. [7, 200]

В противоположность описанной окружности вписанная окружность выпуклой фигуры может и не быть единственной (рис. 1.3.1).

 

 

Определение 1.3.3. Центром выпуклой фигуры Ф называется ее внутренняя точка О, обладающую следующим свойством: отношения, в которых делятся точкой О всевозможные хорды фигуры Ф, проходящие через О,заключены в наиболее тесных пределах.

Определение 1.3.4. Наименьшее из отношений, в котором делится центром О проходящая через О хорда Ф, называется коэффициентом центральности фигуры Ф. [8, 77]

Так, для центрально - симметричных выпуклых фигур (и только для таких фигур) коэффициент центральности равен 1, а центр совпадает с центром симметрии: все хорды, проходящие через центр симметрии, делятся в нем в одном и том же отношении 1:1. Очевидно, что чем ближе к 1 коэффициент центральности выпуклой фигуры, тем больше фигура похожа на центрально - симметричную. [8, 78]

Используя задачу 1.3.3, в которой доказывается, что из всех выпуклых кривых ширины 1 наименьшую площадь ограничивает равносторонний треугольник с высотой 1, можно решить следующую задачу:

Какую наименьшую площадь может иметь выпуклая фигура Ф, если известно, что внутри Ф можно так двигать отрезок длины 1, чтобы он повернулся на угол 360°?

Действительно, прежде всего легко видеть, что ширина  фигуры Ф не может быть меньше 1: если бы расстояние между какой-либо парой параллельных опорных прямых l и l ’ фигуры Ф было меньше 1, то отрезок длины 1, имеющий направление, перпендикулярное к l и l ’, не мог бы быть расположен внутри Ф (рис. 1.3.2), и следовательно, такой отрезок нельзя повернуть на 360° так, чтобы он все время оставался внутри Ф. [8, 78]

 

В силу задачи 1.3.3 отсюда вытекает, что площадь выпуклой фигуры Ф, внутри которой можно повернуть на 360° отрезок длины 1, не может быть меньше площади равностороннего треугольника высоты 1 (т.е.площадь равна = 0,577 …). С другой стороны, совершенно очевидно, что внутри правильного треугольника высоты 1 можно повернуть на 360° отрезок длины 1 (рис. 1.3.3).

Нетрудно видеть, что диаметр D треугольника равен его наибольшей стороне, а ширина  — высоте, опушенной на эту сторону. Отсюда легко вывести, что для треугольника:

 

D £  D.

Теорема 1.3.1.Для треугольника: D £ D , где D – диаметр треугольника, D -ширина треугольника.

Доказательство.

Действительно, если Dесть наибольшая сторона некоторого треугольника, то противолежащий ей угол треугольника является наибольшим, откуда следует, что хотя бы один угол, примыкающий к этой стороне, не больше 60°. Отсюда вытекает, что высота треугольника, опушенная на сторону длины D, равная произведению одной из других сторон треугольника (по предположению не большей D) на синус угла примыкающего к наибольшей стороне, не больше, чем: D sin60° =  D. Равенство D =  D имеет место только в том случае, когда треугольник является равносторонним.

Теорема доказана. [8, 80]

В теории выпуклых фигур значительное место занимает метод симметризаций, смысл которого заключается в замене изучаемой фигуры новой фигурой, более симметричной, чем первая. При этом существует целый ряд различных способов симметризации выпуклой фигуры.

Основную роль в теории плоских выпуклых фигур играют два типа симметризации: симметризация относительно оси и симметризация относительно точки. [8, 82]

Рис. 1.3.4

Симметризация относительно осисостоит в том, что выпуклая фигура заменяется новой фигурой, имеющей фиксированную ось симметрии l, при помощи следующего построения: каждая хорда АВ выпуклой фигуры Ф, перпендикулярная к прямой l, сдвигается вдоль образуемой АВ прямой в новое положение А₁В₁ симметричное относительно l. Фигура Ф’, образованная всеми хордами А₁В₁ в новом их положении, называется образом фигуры Ф при симметризации относительно оси l (рис. 1.3.4).

Более сложно определяется симметризация относительно точки, переводящая произвольную выпуклую фигуру Ф в центрально-симметричную фигуру Ф’. По аналогии с симметризацией относительно прямой хотелось бы определить симметризацию относительно точки, следующим образом: каждая хорда АВ кривой, проходящая через какую-либо внутреннюю точку О, сдвигается вдоль образуемой АВ прямой в новое положение А’В’, симметричное относительно О (рис.1.3.5). Однако такой метод симметризации находит сравнительно скромное применение.

 

Рис. 1.3.5

 

Значительно более важным оказывается способ симметризации относительно точки, определяемый следующим образом. Выпуклая фигура Ф рассматривается как пересечение бесконечного числа полос, образованных ее параллельными опорными прямыми. Затем все эти полосы сдвигаются в направлении, перпендикулярном к направлению полосы, в новое положение, симметричное относительно некоторой точки О; фигура Ф’, образованная в пересечении сдвинутых полос, и называется образом фигуры Ф при симметризации относительно точки О (рис. 1.3.6, а).На рис. 1.3.6, б) изображена симметризация выпуклого многоугольника М. [8, 83]

 

Рис. 1.3.6

 

Все задачи на максимум и минимум, связанные с выпуклыми фигурами, могут быть разделены на две группы. К первой группе относятся задачи, в которых требуется из всех выпуклых фигур найти ту, для которой какая-то численная величина, характеризующая фигуру, принимает наибольшее или наименьшее значение (задачи на безусловный максимум или минимум).

Значительно большее число задач содержит вторая группа, в задачах которой требуется найти наибольшее или наименьшее значение некоторой величины, связанной с выпуклой фигурой, причем рассматриваемая выпуклая фигура должна удовлетворять еще некоторым дополнительным условиям, перечисленным в формулировке задачи. Чаше всего эти дополнительные условия состоят в том, что какая-то другая численная характеристика выпуклой фигуры должна иметь наперед заданное значение. Эти задачи являются более сложными (задачи на условный максимум или минимум). Наиболее известной задачей такого рода является изопериметрическая задача. [8, 84]

3.1Задачи

Задача №1.3.1. Докажите, что плоская фигура Ф не может иметь двух различных описанных окружностей. Докажите также, что описанная окружность плоской фигуры Ф обязательно содержит или две граничные точки Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками окружности, или же три граничные точки Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника. Выведите отсюда, что радиус R описанной окружности плоской фигуры Ф диаметра 1 заключается в границах:

 

0,5 £ R £ = 0,577… [7, 201]

 

Задача №1.3.2. Докажите, что вписанная окружность выпуклой фигуры Ф обязательно содержит или две граничные точки Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками окружности, или три граничные точки Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника; в последнем случае вписанная окружность Ф является единственной. Докажите также, что радиус r вписанной окружности выпуклой фигуры Ф ширины 1 заключается в границах:

 

 £ r £ .[8, 76]

 

Задача №1.3.3. Докажите, что из всех выпуклых кривых ширины 1 наименьшую площадь ограничивает равносторонний треугольник с высотой 1.

Задача №1.3.4. Докажите, что треугольник имеет меньшую площадь, чем каждая другая выпуклая фигура того же самого диаметра и той же самой ширины. [8, 80]

 

3.2Решения

Задача №1.3.1

Фигура Ф не может иметь двух различных описанных окружностей, потому что если бы Ф содержалась внутри двух окружностей S и S ’ одного и того же радиуса R, то она заключалась бы также внутри заштрихованного на рис. 1.3.7 двуугольника, образованного пересечением окружностей S и S ’, а следовательно, и внутри окружности, описанной вокруг этого двуугольника (изображенной пунктиром на рис. 1.3.7).

Но последняя окружность имеет меньший радиус, чем окружности S и S ’, что противоречит тому, что окружности S и S ’ — описанные окружности фигуры Ф. Далее, если окружность S, заключающая плоскую фигуру Ф внутри себя, вообще не содержит граничных точек Ф, то существует окружность меньшего радиуса, также содержащая Ф внутри себя.

 

Рис. 1.3.7

 

Чтобы получить эту окружность, будем постепенно уменьшать радиус окружности S, не меняя ее центра, до тех пор, пока уменьшенная окружность не коснется границы фигуры Ф в какой-либо точке А (рис. 1.3.8, а). [8, 246]

Рис. 1.3.8

 

Если окружность S, заключающая фигуру Ф внутри себя, содержит единственную граничную точку А фигуры Ф, то также существует окружность S ’ меньшего радиуса, заключающая Ф внутри себя. Для того чтобы это доказать, сдвинем окружность S в направлении радиуса ОА (О — центр окружности S) так, чтобы точка А оказалась внутри окружности (рис. 1.3.8, б).При этом мы получим окружность того же радиуса, что и S, заключающую фигуру Ф внутри себя и не содержащую граничных точек Ф; согласно вышесказанному радиус этой окружности можно уменьшить так, чтобы она все еще содержала фигуру Ф внутри себя.

Наконец, если окружность S, заключающая фигуру Ф внутри себя, содержит две граничные точки А и В фигуры Ф, не являющиеся диаметрально противоположными точками S, и дуга окружности S, большая полуокружности, с концами в точках A и B не содержит более никаких точек Ф, то также существует окружность, радиус которой меньше радиуса S и которая заключает фигуру внутри себя. Для доказательства сдвинем несколько окружность S в направлении, перпендикулярном к хорде АВ так, чтобы точки А и В оказались внутри окружности (рис. 1.3.8, в). При этом мы снова получим окружность того же радиуса, что и S, содержащую Ф внутри себя и не содержащую граничных точек Ф; радиус этой окружности можно уменьшить так, чтобы Ф все еще оставалась внутри окружности.

Таким образом, наименьшая из содержащих Ф окружностей обязательно должна содержать либо две точки Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками окружности (рис. 1.3.9, а),либо три такие точки Ф, что никакая из дуг окружности между какими-либо двумя из этих трех точек не больше полуокружности (т.е. три точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника; рис. 1.3.9, б). [6, 301]

 

Рис. 1.3.9

 

Отсюда сразу следует, что радиус R описанной окружности S фигуры Ф диаметра 1 заключается в указанных в условии задачи границах. Действительно, прежде всего, так как фигура Ф заключается внутри окружности S радиуса R, наибольшее расстояние между точками которой равно 2 R,то из того, что диаметр Ф равен 1, сразу следует, что 2R 1, R .Таким образом, остается только доказать, что R . [8, 248]

Если описанная окружность содержит две точки Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками окружности, то, так как расстояние между этими точками не больше 1, радиус R окружности не может быть больше , следовательно, он равен  и, значит, меньше . Если же описанная окружность S фигуры Ф содержит три точки Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника АВС,то по крайней мере один из углов а этого остроугольного треугольника не меньше 60°. Синус этого угла не меньше ,и так как сторона а, противолежащая этому углу, не больше 1, то диаметр 2R окружности S, описанной вокруг треугольника АВС,равный  не больше .

Отсюда получаем, что

 

R = . [6, 302]

Задача №1.3.2

Решение очень похоже на предыдущее. Прежде всего, если окружность S, целиком заключающаяся внутри выпуклой фигуры Ф, не содержит совсем граничных точек Ф, то существует заключающаяся внутри Ф окружность S ’, радиус которой больше радиуса S. Чтобы найти эту окружность, будем постепенно увеличивать радиус S, не меняя ее центра, до тех пор, пока увеличенная окружность не коснется границы Ф в какой-либо точке А (рис. 1.3.10, а).

Если окружность S, заключающаяся целиком внутри выпуклой фигуры Ф, содержит единственную граничную точку А фигуры Ф, то тоже существует окружность, радиус которой больше радиуса S, заключающаяся внутри Ф. Для того чтобы это доказать, сдвинем несколько окружность S в направлении радиуса АО (О — центр окружности S) так, чтобы точка А оказалась вне окружности (рис. 1.3.10, б).При этом мы получим окружность того же радиуса, что и S, заключенную внутри Ф и не имеющую с границей Ф общих точек; согласно вышесказанному, радиус этой окружности можно увеличить так, чтобы она все еще оставалась заключенной внутри Ф. Наконец, если окружность S, заключенная внутри фигуры Ф, содержит две такие граничные точки А и В фигуры Ф, что дуга АВ окружности S, большая 180°, не содержит никаких других граничных точек Ф, то также существует окружность большего радиуса, чем S, содержащаяся целиком внутри Ф. Действительно, сдвинем окружность S в направлении, перпендикулярном к хорде АВ так, чтобы точки А и В оказались вне окружности (рис. 1.3.10, в). При этом мы получим окружность того же радиуса, что и S, заключающуюся внутри Ф и не имеющую с границей Ф общих точек; радиус этой окружности мы можем увеличить так, чтобы она все еще оставалась внутри Ф.

 

Рис. 1.3.10

 

Таким образом, наибольшая из всех содержащихся в Ф окружностей должна содержать либо две граничные точки Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками окружности (рис. 1.3.11, а),либо три такие граничные точки Ф, что никакая из дуг окружности между какими-либо двумя из этих трех точек не больше полуокружности, т. е. три точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника (рис. 1.3.11,б). [8, 249]

Отсюда нетрудно вывести, что радиус r вписанной окружности выпуклой фигуры Ф ширины 1 заключается в указанных в условии задачи пределах. Прежде всего, так как окружность S заключается внутри Ф, а следовательно, и внутри каждой полосы, образованной парой параллельных опорных прямых фигуры Ф, то диаметр S не может быть больше 1 и, следовательно, радиус r окружности S не может быть больше . Таким образом, требуется доказать только, что r не может быть меньше  .

Рис 1.3.11

 

Если вписанная в выпуклую фигуру Ф окружность S соприкасается с границей Ф в точке А, то опорная прямая фигуры Ф, проходящая через точку А,должна быть одновременно и опорной прямой окружности S. Но так как через граничную точку окружности можно провести только единственную опорную прямую, то отсюда следует, что фигура Ф может иметь в точке А единственную опорную прямую, совпадающую с касательной к окружности S (т. е. точка А не может быть угловой точкой фигуры Ф). Отсюда прежде всего вытекает, что если вписанная в Ф окружность S содержит две граничные точки А и В фигуры Ф, являющиеся диаметрально противоположными точками S, то радиус S равен половине расстояния между параллельными опорными прямыми фигуры Ф, проведенными в точках А и В,и не может быть меньше , следовательно, в этом случае обязательно r =  (рис. 1.3.11, а).

Если же вписанная окружность S фигуры Ф содержит три граничные точки А, В, С фигуры Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника, то опорные прямые фигуры Ф, проведенные в точках А, В, С,образуют некоторый треугольник А’В’С’,описанный одновременно вокруг Ф и вокруг окружности S (рис. 1.3.11, б).Обозначим стороны этого треугольника через а, b, с (а — наибольшая сторона), а соответствующие высоты — через h_a, h_b, h_c.

Площадь треугольника А’В’С’ равна, с одной стороны, r, а с другой, .

Так как, а b, а  с,то из равенства:

 

r =

 

следует:

 

h_a =   r   3 r,

r .

 

Но высота  треугольника А’В’С’,описанного вокруг фигуры Ф, не может быть меньше ширины Ф (см. рис. 1.3.11, б); отсюда следует, что r  ,что и требовалось доказать.

В том случае, когда вписанная в выпуклую фигуру Ф окружность S содержит три граничные точки Ф, являющиеся вершинами остроугольного треугольника, существует треугольник А’В’С’,описанный одновременно вокруг Ф и вокруг S. Отсюда следует, что в этом случае вписанная окружность S является единственной — всякая другая окружность, содержащаяся внутри Ф, должна также содержаться внутри треугольника А’В’С’и, следовательно, будет меньше, чем окружность S, вписанная в треугольник А’В’С’.Однако, если вписанная окружность соприкасается с границей Ф в двух диаметрально противоположных точках, то она может быть и не единственной (см. рис. 1.3.1). [8, 250]

Задача №1.3.3

Прежде всего отметим, что в силу результата задачи 1.3.2 радиус r круга S, вписанного в фигуру Ф ширины 1, не больше  и не меньше . При этом если r = , то площадь фигуры Ф не меньше =0,78..., что больше площади равностороннего треугольника высоты 1, равной = 0,57... Если же r = , то Ф есть равносторонний треугольник высоты 1.

Пусть теперь радиус вписанного круга S фигуры Ф равен r ( r< ) тогда существует треугольник Т,описанный одновременно вокруг Ф и вокруг S (см. решение задачи 1.3.2, рис. 1.3.11, б). Проведем еще три опорные прямые фигуры Ф, соответственно параллельные сторонам треугольника Т;точки соприкосновении этих опорных прямых с границей фигуры Ф (какие-нибудь из точек соприкосновения, если эти прямые содержат целые отрезки, принадлежащие границе Ф) обозначим через А’, В’, С’ (рис. 1.3.12). Центр круга S обозначим через О. Так как расстояние между парой параллельных опорных прямых фигуры Ф не может быть меньше 1, а точка О отстоит от каждой из сторон треугольника на расстояние r, то расстояние от точек А’, В’, С’ до точки О не меньше 1 — r.На отрезках ОА’, ОВ’, ОС’ отметим точки А, В, С,удаленные от О на расстояние 1 — r.Проведя из точек А, В, С касательные к кругу S, мы получим фигуру Ф _r,состоящую из круга радиуса r и трех равных между собой частей, ограниченных кругом и двумя касательными круга (см. рис. 1.3.12); эта фигура заключается внутри нашей фигуры Ф. Если r = , то Ф _r = Ф  представляет собой равносторонний треугольник с высотой 1. [8, 256]

Достаточно доказать, что из всех фигур Ф _r ( r< ) соответствующих разным значениям r наименьшую площадь имеет равносторонний треугольник Ф .

На рис. 1.3.13 изображены равносторонний треугольник Р QR и фигура Ф _r ( <r< ).

 

 

Нетрудно видеть, что общая площадь частей равностороннего треугольника, выходящих за пределы фигуры Ф _r,меньше площади частей фигуры Ф _r расположенных вне треугольника Ф . Части треугольника, расположенные вне Ф _r,состоят из шести треугольников таких, как треугольник А PD,заштрихованный на рис. 1.3.13. Пусть М — середина стороны Р R треугольника Р QR.Проведем из точки М отрезок М N,равный и параллельный РА.Точка N будет находиться внутри круга, составляющего часть фигуры Ф _r,так как наименьшее расстояние от точки М до окружности (расстояние по перпендикуляру к Р R)равно, как нетрудно видеть, РА (это можно вывести из того, что наибольшее расстояние от точки А до окружности равно 1, как и высота треугольника). Соединим N с А;пусть NА пересекает Р R в точке Е.

Треугольник М N Е равен треугольнику ЕАР,а треугольник D АР составляет лишь часть ЕАР.Таким образом, мы можем перенести треугольник D АР внутрь М N Е,т. е. внутрь Ф _r (новое положение треугольника D АР тоже заштриховано на рис. 1.3.13). Перенеся таким же образом все шесть треугольников, таких, как D АР,внутрь Ф _r,мы убедимся, что равносторонний треугольник Ф  имеет меньшую площадь, чем фигура Ф _r.Этим и завершается доказательство. [8, 257]

Задача №1.3.4

Пусть Ф— некоторая выпуклая фигура диаметра Dи ширины . Докажем, что площадь Ф не может быть меньше площади треугольника с основанием D и высотой , т. е. не может быть меньше  D .

Пусть А и В — две граничные точки фигуры Ф, расстояние между которыми является наибольшим (равно D).Через точки А и В проведем опорные прямые l ₁ и l ₂ фигуры Ф, перпендикулярные к отрезку АВ; проведем также две другие опорные прямые m ₁ и m ₂ фигуры Ф, перпендикулярные к l ₁ и l ₂ (параллельные АВ;рис. 1.3.14,а). Согласно определению ширины выпуклой фигуры, расстояние между прямыми m ₁ и т₂ не может быть меньше ; следовательно, площадь прямоугольника PQRS образованного прямыми l ₁, m ₁, l ₂ и т₂ не может быть меньше D .

Пусть С — точка соприкосновения опорной прямой m ₁ (стороны Р S прямоугольника PQRS) с фигурой Ф, Е— точка соприкосновения прямой т₂ с фигурой Ф. В силу выпуклости фигуры Ф она должна содержать целиком четырехугольник ВСАЕ.Но площадь треугольника A ВС равна половине площади прямоугольника АВ S Р;площадь треугольника АВЕ равна половине площади прямоугольника А QR В.Таким образом, площадь ВСАЕ равна половине площади прямоугольника PQRS и, следовательно, не может быть меньше D ; следовательно, и площадь Ф не может быть меньше  D .

Рис. 1.3.14

 

Из приведенного решения нетрудно увидеть, что площадь Ф равна D  только в том случае, когда фигура Ф есть треугольник. Действительно, прежде всего фигура Ф площади D  должна совпадать с четырехугольником ВСАЕ (см. рис. 1.3.14, а),причем диагональ АВ должна быть равна диаметру D четырехугольника B С A Е, а расстояние между прямыми m ₁ и т₂ ширине . Но последнее возможно только в том случае, когда отрезок АВ совпадает с одной из сторон Р S или QR прямоугольника PQRS. Действительно, в противном случае через точки С и Е всегда возможно провести опорные прямые m ₁’и т₂’четырехугольника ВСАЕ,расстояние между которыми будет меньше расстояния между m ₁ и т₂ (см. рис. 1.3.14, а;если С S Е R,то SS ’ RR ’, SR S ’ R ’ и,следовательно, расстояние между m ₁’и т₂’и подавно меньше SR). [8, 266]

Таким образом, площадь выпуклой фигуры может быть равна D  только в том случае, когда Ф есть треугольник с основанием D и высотой  (рис. 1.3.14, б). [8, 265]