Упругие волны в стержне.

Волновое уравнение.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.

Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+ х. Масса этого куска равна   р₀S₀ х, где р₀ и S₀ – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть  – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

слева стоит произведение массы куска на ускорение д­­­² /д t² его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на S₀ :

                     (2.7)

Перейдя к пределу при , получим уравнение

                                                                                                             (2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

                                                                                                           (2.9)

Вспомнив теперь формулу , содержащую определение дефор­мации, и подставив ее в (2.9), получаем:

                                                                                                        (2.10)                   

Это—волновое уравнение.Оно указывает, что смещение распростра­няется но стержню в виде волн

                                                                                                               (2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распро­странения этих волн (скорость звука в стержне)

                                                                                                                       (2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением  нас интересуют скорость v =  , с которой

.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация  инапряжение . Дифференцируя (2.11)по t и но x,получаем:

v= uf’(x ut)                                                                                                         (2.13a)

=f'(x  ut),                                                                                                             (2.13б)

=Ef’ (x   ut).                                                                                                       (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распро­страняются в виде связанных определенным образом между собой неде­формирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое на­правление распространения.

На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорцио­нальны производной f'{x  ut). Физическая интерпретация здесь оче­видна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяже­ния, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (ми­нимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

                                                                                                                           (2.14)

где

                                                                                                         (2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины  связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).