Уравнения Навье - Стокса в переменных функция тока, вихрь скорости

 

Следуя [10], преобразуем систему уравнений 1.4 - 1.6 к виду, удобному для численного решения. Для этого введем переменные величины функцию тока  и вихрь :

 

, (3.1)

 

а также безразмерные величины:

 

, (3.2)

 

где  - характерная скорость и характерная длина.

После несложных преобразований [10] получаем следующую безразмерную систему уравнений (штрихи у безразмерных величин опущены для удобства записи):

 

 (3.3)

. (3.4)

 

В эти уравнения как неизвестные величины входят функция тока  и вихрь , зависящие от координат r и z. Турбулентное число Рейнольдса Re находится по полуэмпирическому соотношению, приведенному в [10].

Приближенное решение уравнений Навье – Стокса

 

Численные методы решения системы уравнений (3.3) - (3.4) приведены в [21]. Однако их практическая реализация вызывает определенные трудности по причине отсутствия граничных условий для функции  на твердых поверхностях. В данной работе приведено приближенное решение задачи, в котором использован метод, обычно называемый методом последовательных приближений.

Выбирая “нулевое” приближение , находим из (3.4)

 

 (3.5)

 

из (3.3) получаем уравнение для нахождения более точного приближения:

 

 (3.6)

 

Интегрирование производим в области, заимствованной из работы [10] и показанной на рисунке 3.1

Решение, приведенное в этой работе, условно принимаем за точное решение.

 

Рисунок 3.1 - Область интегрирования

 

В качестве “нулевого" приближения выбираем функцию

 

, (3.7)

 

где С - безразмерный коэффициент. Приводя ее к безразмерному виду, получаем

 

. (3.8)

 

На рисунке 3.2 показаны линии уровня для начального приближения функции тока.

 

Рисунок 3.2 - Линии уровня

 

В этой формуле штрихи у безразмерных величин и индекс “ж” для удобства записи опущены. Легко видеть, что , если , т.е. на большей части границы области.Подставляя (3.8) в (3.5), находим

 

, (3.9)

 

причем , если , т.е. на оси симметрии и на свободной поверхности жидкости, что соответствует [10].

На рисунке 3.3показаны линии уровня для начального приближения вихря скорости.

 

Рисунок 3.3 - Линии уровня

 

Подставляя (3.9) в (3.6) находим:

 (3.10)

 

Для удобства записи перепишем уравнение (3.10) в форме:

 

, (3.11)

 

где A (r,z), B (r,z), C (r,z) - известные функции;

Re турбулентный аналог числа Рейнольдса.

Заменим исходную функцию  сеточной функцией [22, 23]:

 

,

i=0. N-1;

J=0. M-1;

;

.

 

Заменим производные разностными отношениями:

 

; (3.12)

. (3.13)

 

Подставляя (3.12), (3.13) в (3.11) получаем:

 

. (3.14)

 

Выражая  из (3.14) получим:

 

. (3.15)

 

Учитывая, что на границе области функция тока  равна нулю получаем начальные условия, которые необходимы для решения (3.15):

 

; (3.16)

. (3.17)

 

Данная схема имеет первый порядок аппроксимаций по координатам r,z и устойчива при 1.