Базовые действия над матрицами

Определение 1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 2. Суммой двух матриц  ( ) и  ( ) одинаковых порядков  называется матрица  ( ) того же порядка, элементы которой равны .

На письме это действие может быть записано так: . Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным .

Определение 3. Произведением матрицы  на число  называется матрица , элементы которой равны .

Умножение матрицы на число может быть записано:  или .

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя ; распределительным относительно суммы матриц ; распределительным относительно суммы чисел .

После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.

Определение 4. Произведением матрицы  ( ), имеющей порядок , на матрицу  ( ), имеющую порядок , называется матрица  ( ), имеющая порядок , элементы которой равны , где .

Записывается это действие так . Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента , в произведении  необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы -ой строки матрицы  на элементы -го столбца матрицы , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы  было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение  и  существует только лишь в том случае, когда число столбцов  равно числу строк , а число столбцов  равно числу строк . В этом случае  и  будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы  и  были квадратными матрицами одинакового порядка.

Произведение матриц  имеет свойства: сочетательное ; распределительное . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.

Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:

.

В том случае, если , то для любой квадратной матрицы  порядка  справедливо . Действительно, для  получаем . Для  - . Отсюда, .

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы , обозначается она - , у нулевой , обозначается она - .

Как было показано , . Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что ; . Таким образом, матрицы  и  выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.

Обратная матрица

Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это такое.

Определение 1. Матрица , удовлетворяющая вместе с матрицей  равенствам , где  - единичная матрица, называется обратной к  и обозначается .

Поскольку  и  обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка.

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия.

Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной.

Определение 3. Пусть дана квадратная матрица

.

Матрицей союзной или присоединенной к матрице  называется матрица

,

где  алгебраические дополнения элементов  данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице  алгебраические дополнения к элементам -ой строки расположены в -ом столбце.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть .

Теорема 2. Матрица  имеет обратную  только в том случае, если она невырожденная.

Доказательство. Пусть для матрицы  существует обратная , тогда . Отсюда следует, что

,

иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная .

Доказательство. Пусть  имеет две обратные матрицы  и . Тогда

 и .

Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная .

Докажем эту теорему, вычисляя . Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу , элементы которой находятся по формуле

.

В полученном выражении, если , то . Действительно,  похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки умножаются на алгебраические дополнения -го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.

Итак, если , то . Если же , то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,

Но  определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица . Следовательно,  и .

Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:

1. находим  (он должен быть не равен нулю);

2. транспонируем матрицу ;

3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением;

4. делим каждый полученный элемент на .