Задача по теме «Неравенство треугольника».

Расстояния от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Дано: АВ = 3 см, АС = 14 см, DB = 5 см, DC = 6 см.



Доказать: точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Доказательство 1. Предположим, что точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки А и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, точки А и D (рис. а) лежат в разных полуплоскостях (рис. б). Доказательство для обоих случаев аналогично.

Из треугольника ABC в силу неравенства треугольника следует, что АС < АВ + ВС; 14 < 3 -I- BC; т. е. ВС > 11. Из треугольника ABD следует неравенство ВС < BD + DC = 5 + 6, т. е. ВС < 11. Пришли к противоречию, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Доказательство 2. Воспользуемся неравенством треугольника, которое состоит в следующем: для любых трех точек Р, Q и R PR < PQ + QP, причем PR = PQ + QR в том и только в том случае, когда точка Q лежит между Р и R.

Тогда ВС
< 14 е. т. АВ АС 11,>
Кроме того, АС = АВ + ВС =14, так что точка В лежит между А и С на прямой ВС. Но тогда и А лежит на прямой ВС.

Таким образом, все четыре точки лежат на прямой ВС, что и требовалось доказать.

Третий признак равенства треугольников (формулировка и пример).

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пример.

По рисунку докажите равенство треугольников ВАС и DAC, если АВ = AD, ВС = DC (рис. 8).

В треугольниках ВАС и DAC АВ = AD, ВС = DC по условию, АС — общая сторона. Следовательно, BAC = DAC по трем сторонам.

Теорема об углах, вписанных в окружность.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

[П] Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Дано: ABC — вписанный, О — центр окружности.





Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 9, а).

Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 9, б, в).

В случае, представленном на рисунке 9, б,



[А] Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: ABC — вписанный, О — центр окружности, АС соответствует ABC (рис. 10).