Глава 5. Игры на клетчатой бумаге

Крестики - нолики

1. Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Следующая задача относится к этой игре.

Задача.[4] Докажите, что при игре в крестики – нолики второй игрок, как бы хорошо он ни играл, не может рассчитывать больше, чем на ничью, если его партнёр играет правильно.

2. Бридж-ит («перебрось мостик!»)

На рисунке показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой – чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие». В этой игре у начинающего игру есть выигрышная стратегия.

    Когда вы вдоволь наиграетесь с друзьями в эту игру, можете либо придумать стратегию, либо прочитать о ней в книге М. Гарднера «Математические досуги»

3. Солитер [11]

Для игры в солитер нужны игровое поле-доска из 33 клеток и фишки, шашки или монетки. Игра начинается с того, что на все клетки доски, кроме центральной, расставляются фишки. Цель игры состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. «Прыжок» означает следующее: фишка переносится на свободную клетку через любую соседнюю фишку, которая при этом снимается с доски, причём фишки могут прыгать влево, вправо, вверх и вниз (но не по диагонали!). Каждый ход обязательно должен быть прыжком через фишку. Если очередной ход невозможен, то игра заканчивается.

  Прежде чем играть в солитер, можете решить несколько более простых задач из книги М. Гарднера «Математические досуги».

4. Жизнь [11]

Эту игру придумал математик Дж. Конуэй. В неё можно играть одному. Для игры вам понадобится большая доска, разграфленная на клетки, и много плоских фишек двух цветов. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения фишек, расставленных в разных клетках, проследить за эволюцией исходной позиции под действием «генетических законов» Конуэя, которые управляют рождением, гибелью и выживанием фишек. Вот эти законы.

1. Выживание. Каждая фишка, имеющая две или три соседние фишки, выживает и переходит в следующие поколения. (Соседние фишки – те, которые расположены на соседних клетках: смежных по горизонтали, вертикали или диагонали.)

2. Гибель. Каждая фишка, у которой больше трёх соседей, погибает (то есть снимается с доски) из-за перенаселённости. Каждая фишка, вокруг которой свободны все соседние клетки или занята всего одна клетка, погибает от одиночества.

3. Рождение. Если число фишек, с которыми граничит какая-нибудь пустая клетка, в точности равно трём, то на этой клетке происходит рождение нового «организма», то есть следующим ходом на неё ставится одна фишка.

Важно понять, что гибель и рождение всех «организмов» происходят одновременно. Вместе взятые, они образуют одно поколение – один «ход» в эволюции. Чтобы не запутаться, ходы рекомендуется делать так:

1) начать с конфигурации, целиком состоящей из чёрных фишек;

2) определить, какие фишки должны погибнуть, и положить на каждую из обречённых фишек по одной чёрной фишке;

3) Найти все свободные клетки, на которых должен произойти акт рождения, и на каждую из них поставить по одной белой фишке;

4) Всё проверить, затем снять с доски все погибшие фишки (столбики), а всех новорождённых (белые фишки) заменить чёрными фишками.

Вы получите новое поколение. Дальше действуйте аналогично. Вы обнаружите много интересного и красивого в эволюции семейств организмов.