Частичные группоиды и их свойства

 

Как известно, бинарная алгебраическая операция на множестве S – это отображение из декартового квадрата S×S. В этом случае говорят , что задано действие на S. Мы его в этом параграфе будем называть полным действием.

Всякое отображение из подмножества S×S в S называется частичным действием на S. Иными словами, частичное действие на S – это некоторая функция из S×S → S.

Можно сказать, что на S задано частичное действие (частичное умно­жение), если для любых элементов а,в S произведение а·в либо не опреде­лено, либо определено однозначно. Попросту говоря, здесь не любые эле­менты перемножены.

 Множество S с заданным в нем частичным умножением называется частичным группоидом и обозначается  (S ; · ) в отличие от полного группоида < S ; · >.

Если для полного группоида можно говорить о таблице Кэли, то для частич­ного группоида можно говорить о некотором аналоге таблицы Кэли, а именно о такой таблице, когда некоторые клетки пусты – это в том случае, когда произведение элементов неопределенно.

Пример 1.                                                                                                                                                                                   

•	a	в	с
а	a	в	с
в	─	в	─
с	в	а	─

 

а·в= в, но в·а не определено, т.е. в·а = Ø . Символ “ Ø “ не принадлежит S , т.е. не является элементом из S.

Пример 2.

Рассмотрим ЧУМ (S ; ≤ ).

S = {a ,в, c , d}, где а ≤ а, в ≤ в, с ≤ с, d ≤ d, с ≤ а, с ≤ в, d ≤ а, d ≤ в.

В произвольном ЧУМе (S ; ≤ ) условимся обозначать:

                а в = inf{a ,в}.

Тогда указанное в примере ЧУМ относительно этого частичного дейст­вия  , является частичным группоидом (S ;  ), таблицей Кэли которого явля­ется следующая

 

^	а	в	с	d
a	a	─	c	d
в	─	в	с	d
с	c	c	c	─
d	d	d	─	d

 

В этом параграфе мы рассмотрим три вида ассоциативности: сильная ассоциативность, средняя ассоциативность, слабая ассоциативность.

Определение 1.

Частичный группоид (S ; · ) называется слабо ассоциативным, если

( х ,y,z S) (x·y)·z Ø  x·(y·z) → (x·y)·z = x·(y·z)   (*)    

Определение 2.

Частичный группоид (S ; · ) называется средне ассоциативным, если

( х ,y,z S) (x·y)·z Ø  y·z → (x·y)·z = x·(y·z)  

Определение 3.

Частичный группоид (S ; · ) называется сильно ассоциативным, если

( х ,y,z S) [(x·y)·z Ø  x·(y·z) Ø → (x·y)·z = x·(y·z)]   (*)    

В сильно ассоциативном частичном группоиде выполняется свойства средней и слабой ассоциативности. Однако обратное отнюдь не обяза­тельно.

Пример 3.

Дано А = {a ,в,с}. Зададим на А частичное действие умножение           “ частичной таблицей Кэли”.

•	a	в	с
а	─	─	─
в	с	─	─
с	─	в	с

 

 

Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли груп­поид сильно ассоциативным.

Пусть (x·y)·z Ø т.к. х  а, то либо х = с  х = в

1) пусть х = с, тогда у = в  у = с

  а) пусть у = в, тогда z = a

(с·в)·а Ø  с·(в·а) определено

               (с·в)·а = с·(в·а) равенство выполняется

  б) пусть у = с, тогда z = в  z = с

 а’) если z = в , тогда

(с·с)·в Ø  с·(с·в) определено

(с·с)·в = с·(с·в) равенство выполняется

б’) если z = с, тогда

(с·с)·с Ø  с·(с·с) определено

(с·с)·с = с·(с·с) равенство выполняется

2) пусть х = в, тогда у = а ,а z = в z = c

  а) если у = а и z = в

 (в·а)·в Ø= в·(а·в) не определено

(в·а)·в  в·(а·в) равенство не выполняется

б) пусть у = а и z = с

(в·а)·с Ø= в·(а·с) не определено

(в·а)·с  в·(а·с) равенство не выполняется

Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассо­циативным . Но это еще не означает, что (S ; · ) не является слабо ассоциа­тивным.

Выясним это.

Пусть(x·y)·z Ø  x·(y·z) Ø .

При х  а, у  а, а именно, когда

х = в  х = с

у = в  у = с

этот частичный группоид является слабо ассоциативным.

Пример 4.

Пусть А = {a , в,с}, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.

 

•	a	в	с
а	с	а	─
в
с	а	а	─

 

 

 

Пусть (x·y)·z Ø т.к. х  в, тогда х = а  х = с

1) пусть х = а, тогда у = а  у = в

  а) пусть у = а, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(а·а)·а Ø  а·a определено

(а·а)·а  а·(а·a) равенство не выполняется

б’) если z = в, тогда

(а·а)·в Ø  а·в определено

(а·а)·в  а·(а·в) равенство не выполняется

Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выяс­ним является ли он слабо ассоциативный.

Пусть (x·y)·z Ø  x·(y·z) Ø, т.к. х  в, тогда х = а  х = с

1) пусть х = а, тогда у = а  у = в

  а) пусть у = а, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(а·а)·а Ø= а·(а·a) не определено

(а·а)·а  а·(а·a) 

б’) если z = в, тогда

(а·а)·в Ø  а·(а·в) определено

(а·а)·в = а·(а·в) равенство выполняется

б) пусть у = в, тогда z = a, z = в

 а’) если z = а , тогда

(а·в)·а Ø= а·(в·a) не определено

(а·в)·а  а·(в·a) 

б’) если z = в, тогда

(а·в)·в Ø  а·(в·в) не определено

(а·в)·в  а·(в·в) равенство не выполняется

2) пусть х = с, тогда у = а , у = в

  а) пусть у = а, тогда z = a, z = в

а’) если z = а , тогда

(с·а)·а Ø= с·(а·a) не определено

(с·а)·а  с·(а·a) равенство не выполняется

б’) если z = в, тогда

(с·а)·в Ø  с·(а·в) определено

               (с·а)·в = с·(а·в) равенство выполняется

Итак , мы видим что частичный группоид является слабо ассоциативным при х = а и z = в или при х = с если у = а и z = в.

     Определение 4.

Частичный группоид (S ; · ) называется коммутативным, если

( х, y S) x·y = y·х

Определение 5.

Частичный группоид (S ; · ) называется катенарным, если

( х ,y,z S) (x·y Ø y·z) → [(x·y)·z Ø  x·(y·z)]

 Определение 6.

Частичный группоид (S ; · ) называется идемпотентным, если

      ( х S) х = х

Приведем пример некатенарного частичного группоида.

Пример 5.

^	а	в	с	d
a	a	─	c	d
в	─	в	с	d
с	c	c	c	─
d	d	d	─	d

                            

 

Имеем с  а = с Ø, а d = d Ø. Однако, (с  а)  d = c d Ø. Следовательно, заданный ЧГ не является катенарным.

Ясно, что понимаем под термином “ общая верхняя грань” элементов а и в некоторого ЧУМ.

Определение 7.

     ЧУМ называется категорийным, если любые два его элемента, имею­щие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Пример 6.

                                          

  

Чум не является категорийным, т.к. элементы с и d имеют верхнюю грань , но не имеют точную нижнюю грань.            

Пример 7.

Частично упорядоченное множество, задаваемое таблицей Кэли:

 

	а	в	с	d	e	f	g	h	k	s
a	a	в	c	d	h	g	g	h		
в	в	в	d	d	0	g	g	0		
c	c	d	c	d	h	0	0	h		
d	d	d	d	d	0	0	0	0		
e	h	0	h	0	e	0	0	h		
f	g	0	0	0	0	f	g	0		
g	G	g	0	0	0	g	g	0		
h	h	0	h	0	h	0	0	h		
k									k	s
s									s	s

 

является категорийным, так как любые два его элемента, имею­щие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Пример 8.

Частично упорядоченное множество

имеющее следующую таблицу Кэли:

•	а	в	с	d	f
а	а	с	с	-	-
в	с	в	с	-	-
с	с	с	с	-	-
d	-	-	-	d	f
f	-	-	-	f	f

 

является категорийным, так как любые два его элемента, имею­щие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Понятно, что всякая полурешетка – это категорийное ЧУМ (но не на оборот), т.к. любые два элемента имеют точную нижнюю грань. Иными сло­вами, класс всех категорийных ЧУМ содержит класс всех полурешеток, но с ним не совпадает. Т.о. любое предложение, доказанное для категорийных ЧУМ влечет в качестве очевидного следствия некоторую теорему относи­тельно полурешеток.

Приведем примеры полурешеток.

а

Пример 9.

Диаграмма:

 

	d

 

 

называется диамантом, и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:

^	а	в	с	d
a	a	в	c	d
в	в	в	d	d
с	c	d	c	d
d	d	d	d	d

 

                  

 

в

e

Пример 10.

Диаграмма:

	a				c
			0

 

 

называется пентагоном, и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:

 

•	а	в	с	е	0
а	а	0	0	а	0
в	0	в	с	в	0
с	0	с	с	с	0
е	а	в	с	е	0
0	0	0	0	0	0

 

                                          

 

Пример 11.

Полурешетка, задаваемая таблицей Кэли:        

•	а	в	с	е	0
а	а	0	0	а	0
в	0	в	0	в	0
с	0	0	с	с	0
е	а	в	с	е	0
0	0	0	0	0	0

                 

имеет диаграмму:

	е

                                      

	а				с
			0

Теорема 1.

Пусть (S ; ≤ ) – категорийное ЧУМ, тогда (S ;  ) – катенарный идемпо­тентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид.

Доказательство:

Для любого а S всегда

а а = inf{a , a} = a поэтому частичный группоид S идемпотентен.

Имеем а в = inf{a ,в} = inf{в, a} = в а , а поэтому S коммутативен.

Проверим слабую ассоциативность.

Пусть (а в) с Ø  а (в с) , обозначим

а в = d, в с = e, (а в) с = d с = f, а (в с) = а е = g

Докажем, что f = g.

По определению имеем f ≤ d ≤ a f ≤ a,

f ≤ d ≤ в f ≤ в (1)

       f ≤ c                  (2)

Т.к. е = inf{в,с}, то из (1), (2) следует, что f ≤ e. Т.о. f – некоторая общая ниж­няя грань для а и е, а g – их точная нижняя грань, поэтому

f ≤ g                    (3)

Аналогично,

g ≤ f                   (4)

Неравенство (3), (4) и антисимметричность отношения ≤ обеспечивают f = g. Слабая ассоциативность доказана.

Проверим катенарность S .

Пусть а в Ø  в с , обозначим а в = х ,  в с = y, отсюда х ≤ в, у ≤ в, т.е.

в – общая верхняя грань х и у. Т.к. ЧУМ S категорийно, то существует inf{х,у}, т.е. существует в S х у. Обозначим х у = z, покажем ,что

 а (в с) = х с = z. Имеем z ≤ x, z ≤ y (т.к. z = inf{х,у}), y ≤ z z ≤ x , z ≤ c,

z – нижняя грань для х и с.

Обеспечим точность.

Пусть t ≤ x , t ≤ c ( t – какая – либо нижняя грань ), т.к. t ≤ x , то t ≤ a, t ≤ в, по условию t ≤ с, т. е. t – общая нижняя грань для в и с. Отсюда следует по опре­делению у , t ≤ y .

Итак, t ≤ x, t ≤ у следовательно t ≤ z (по определению z).

Катенарность доказана.

Теорема 2.

Если (S ; ·) – катенарный идемпо­тентный коммутативный слабо ассо­циативный частичный группоид, то отношение

 ≤ = { (а,в)  S×S | ав = а } (2)

Является отношением порядка. При этом ЧУМ <S ; ≤ > – является катенар­ным.

Доказательство:

     Докажем рефлексивность отношения ≤ . Т.к. частичный группоид S идемпо­тентен , то a · a = a отсюда , по определению (2) а ≤ а.

     Проверим антисимметричность.

Если а ≤ в , в ≤ а ,то а·в = а, в·а = в, левые части равны в виду коммутативно­сти , значит равны и правые, следовательно а = в.

     Осталось доказать транзитивность.

Пусть а ≤ в , в ≤ с, тогда а·в = а, в·с = в, а·с = (а·в)·с. В силу катенарности имеем (а·в)·с Ø , а·(в·с) Ø , отсюда в силу слабой ассоциативности

(а·в)·с = а·(в·с), а поэтому, а·с = а·(в·с) = а·в = а.

Итак, а·с = а, т.е.  а ≤ с.

     Т.о. имеем ЧУМ <S ; ≤ > .

Проверим категоричность ЧУМ.

Пусть z – общая верхняя грань для х и у. Следовательно, х ≤ z, y ≤ z , отсюда х· z = x , y · z = y, тогда z · y = y. В силу катенарности (x·y)·z Ø  x·y Ø.

Обозначим х·у = s, докажем , что s точная нижняя грань .

Имеем s · x = (x·y)·x = x ·(x · y) = (x · x)·y = x · y = s (в виду катенарности и слабой ассоциативности), следовательно, s ≤ x, т.е. s – общая нижняя грань.

Из этих теорем вытекают известные в теории полурешеток два следствия.

Следствие 1.

Если <S ; · > - идемпо­тентная коммутативная полугруппа, то отношение ≤ , определенное равенством (2), является частичным порядком. При этом для любых двух элементов в S существует точная нижняя грань.

Следствие 2.

Если <S ; · > - частично упорядоченное множество, в котором любых двух элементов существует точная нижняя грань, то относительно операции

               а в = inf{a ,в} (3)

множество S является идемпо­тентной коммутативной полугруппой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 – понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906–07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского – расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее – в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).

Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связан­ная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры.

К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвя­щенных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко.

Список литературы

1. А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. 1972.

2. Грейцер. Общая теория решеток.Москва.-284с.

3. Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества частичных группоидов.Москва,1998. – 680с.

4. Е.С. Ляпин. Полугруппы. Москва: физмат, 1960.- 354с.

5. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 1980.-589с.