Практическая ценность .

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, применялись для решения практических задач взаимодействия промышленных предприятий, а также в учебном процессе в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН. Предложенные методы продолжения решения по параметру, а также методы регуляризации вырожденных задач могут быть использованы в теоретических исследованиях при решении прикладных задач оптимального управления. Был адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2 для решения задачи ЛП и использован для практических численных расчетов показателей эффективности производства на модельном примере (с применением метода продолжения решения по параметрам).

Апробация работы.

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на международной конференции в Черногории (International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06^th – 10^th , 2008), на 14-ой Байкальской школе-семинаре СО РАН «Методы оптимизации и их приложения». (Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г.) и на научных семинарах в МФТИ и в ВЦ РАН.

Личный вклад.

1) Проведен качественный и количественный анализ задачи эффективного управления взаимодействием двух промышленных предприятий.

2) Разработан прямой численный метод построения гипотезы по определению множества активных индексов для задачи управления с ограничениями типа неравенств (геометрия оптимальной траектории).

3) Предложена регуляризация вырожденного случая принципа максимума.

4) Разработан явный эффективный численный метод решения жестких систем ОДУ.

5) Автором адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2, использование которого позволяет выработать обоснованные управленческие решения.

Публикации. Основные результаты исследования отражены в восьми публикациях. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных с соавторами работах автору принадлежит 50% результатов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав и двух приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «Введение» приведены цели исследования, актуальность, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту. Дана характеристика научной новизны, практической значимости и указаны апробации полученных результатов.

В первой главе приводятся постановки задач и рассматриваются вопросы практической реализации предлагаемого подхода на примере линеаризации, дискретной аппроксимации и аналитического исследования для динамических моделей взаимодействия двух промышленных предприятий.

     Приводится детальное содержательное описание моделируемой системы для случая параметрической линеаризации рассматриваемой модели.

Динамическая модель взаимодействия двух предприятий имеет вид:

Задача А:

                                                       

а ограничения на управления и фазовые переменные соответственно

                                                

                ,                 

                  найти    при условиях

                                        

 

Здесь:

 - общий объем ресурсов, передаваемый от предприятия –  

 донора предприятию – акцептору;

 - интенсивность поставки ресурсов (управление);

 - суммарный объем производства промышленной продукции;

 - интенсивность промышленного производства (управление);

 - прибыль от реализации произведенной продукции;

  Остальные переменные являются параметрами модели.

Доказаны теоремы:

1. Если параметры и управления задачи А измеримы и для правых частей дифференциальных уравнений выполнены условия Филиппова А.Ф. и существует хотя бы одна допустимая пара, удовлетворяющая всем условиям задачи А, то оптимальное решение существует и единственно.

2. Принцип максимума для задачи А выполняется тривиально.    

    Далее предлагается регуляризация задачи А за счет введения малых параметров в правые части дифференциальных уравнений. При этом получается нетривиальный принцип максимума.

 

График 1

На графиках 1 и 2 приведены характерные решения для фиксированных параметров  и . Приведенные графики построены с помощью графического пакета и адаптированного пакета прикладных программ БАЛАНС — 2.

Проверка правильности построения гипотезы о геометрии оптимальной траектории для рассматриваемых задач выполнялась по принципу максимума Понтрягина.

На графике 1 приведена динамика фазовых переменных, откуда хорошо видно, что при кризисных явлениях нет никакой прибыли на определенном интервале времени, что характеризуется поведением кривой . Здесь по оси ординат отложены условные единицы значений фазовых переменных, а по оси абсцисс характерное время с выбором подходящего масштаба.

 

График 2

 

 

Для рассматриваемой модели в качестве примера параметр-функции задавались в виде:

     

Где , ,  - константы.

График 2 иллюстрирует динамику управляющих функций (для модельного примера). Значения на оси ординат слева характеризуют интенсивности, а справа — параметр-функции. А по оси абсцисс отложено характерное время.

Аналитически показано, что существует область изменения параметров, для которой выполняется нетривиальный принцип максимума.

Во второй главе приводятся постановки линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями.

Под задачей оптимального управления со смешанными ограничениями понимается задача следующего вида: найти управление , дающее минимум функционалу

,

при условиях

,
;   ,

необходимые условия оптимальности имеют вид:

, ,
,
,

где вектор  является решением системы уравнений

с условиями

.

Далее рассматриваются достаточные условия оптимального управления, основанные на методике сведения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями к задаче ЛП в банаховых пространствах, предложенной А.М. Тер-Крикоровым. Далее рассматриваются две задачи:

Задача 1.

Найти управления , дающие максимум линейному функционалу

(1)

при следующих ограничениях:

,	(2)
, ,	(3)
, .	(4)

Матрицы , ,  и  и векторы ,  имеют ограниченные измеримые компоненты, которые выражают обобщенные технологические и весовые показатели. Соответствующие матрицы и векторы имеют следующие размеры: , , , , , , , , . Векторы с символом  являются строками, без – столбцами.

Задача 2.

Найти управления , , дающие минимум линейному функционалу

(5)

при следующих ограничениях:

,	(6)
,	(7)
, .	(8)

 

Достаточные условия оптимальности задач 1 и 2 даются следующей теоремой:

Теорема 1 (Тер-Крикоров). Пусть для некоторых допустимых управлений  и ,  задач 1 и 2 выполнены условия

, ;	(9)
, ;	(10)
, ,	(11)

причем первые два равенства выполняются почти при всех . Тогда ,  будет оптимальным решением задачи 1, а , ,  будет оптимальным решением задачи 2.

Необходимые условия оптимальности для задачи 1 формулируются в терминах принципа максимума Понтрягина с использованием сопряженных переменных . Связь сопряженных переменных  и переменных задачи 2 дается следующими леммами:

  Лемма 1. Если при допустимом управлении задачи 1 существует вектор сопряженных переменных , константа  и векторы множителей Лагранжа , , удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и краевым условиям для , условиям Блисса и условиям дополняющей нежесткости для , , то  и  являются допустимыми управлением и фазовым вектором задачи 2.

Лемма 2. Если существуют допустимые управления , ,  задач 1 и 2, и они удовлетворяют условиям (2.5.9)-(2.5.11), то вектор траектории  задачи (2.5.5)-(2.5.8), соответствующей управлению , является вектором сопряженных переменных  задачи (2.5.1)-(2.5.4) при .

На основании лемм 1 и 2 теорема 1 переформулируется следующим образом:

Теорема 2. Если при данном допустимом управлении  задачи 1 существуют число , кусочно-гладкая вектор-функция , измеримые вектор-функции ,  и вектор  такие, что выполняются условия (2.5.12)-(2.5.15), то  – оптимальное управление задачи 1.

Таким образом, теорема 2 дает возможность использовать сопряженные переменные  для доказательства оптимальности полученного решения в задаче ОУ.