Интегрированная модель авторегрессии- скользящего среднего

Модель АРСС допускает обобщение на случай, когда случайный процесс является нестационарным. Ярким примером такого процесса являются «случайные блуждания»:

 (1)

С использованием оператора сдвига модель (1) принимает вид

 (2)

Из (2) видно, что процесс (1) расходящийся, поскольку . Характеристическое уравнение этого процесса имеет корень, равный единице, то есть имеет место пограничный случай, когда корень характеристического уравнения оказался на границе единичной окружности. В то же время, если перейти к первым разностям , то процесс  окажется стационарным.

В общем случае полагается, что нестационарный авторегрессионный оператор  в модели АРСС имеет один или несколько корней, равных единице. Иными словами,  является нестационарным оператором авторегрессии порядка p + d ; d корней уравнения =0 равны единице, а остальные р корней лежат вне единичного круга. Тогда можно записать, что

,

где a(B) – стационарный оператор авторегрессии порядка р (с корнями вне единичного круга).

Введем оператор разности , такой что =(1-B) , тогда нестационарный процесс АРСС запишется как

, (3)

где b(B) – обратимый оператор скользящего среднего (вне его корни лежат вне единичного круга).

Для разности  порядка d , то есть  модель

описывает уже стационарный обратимый процесс АРСС(р, q).

Для того чтобы от ряда разностей вернуться к исходному ряду требуется оператор s, обратный  :

Этот оператор называют оператором суммирования, поскольку

 .

Если же исходной является разность порядка d, то для восстановления исходного ряда понадобится d - кратная итерация оператора s , иначе d- кратное суммирование (интегрирование). Поэтому процесс (3) принято называть процессом АРИСС, добавляя к АРСС термин интегрированный. Кратко модель (3) записывают как АРИСС(р, d , q), где р – порядок авторегрессии, d – порядок разности, q – порядок скользящего среднего. Ясно, что при d =0 модель АРИСС переходит в модель АРСС .

На практике d обычно не превышает двух, то есть d .

Модель АРИСС допускает представление, аналогичное общей линейной модели, а так же в виде «чистого » процесса авторегрессии (бесконечного порядка). Рассмотрим, к примеру, процесс АРИСС (1, 1, 1):

 (4)

Из (4) следует, что

Отсюда

 (5)

В выражении (5) коэффициенты, начиная с третьего, вычисляются по формуле .

Представление (5) интересно тем, что веса, начиная с третьего, убывают по экспоненциальному закону. Поэтому, хотя формально зависит от всех прошлых значений, однако реальный вклад в текущее значение внесут несколько «недавних» значений ряда. Поэтому уравнение (5) более всего подходит для прогнозирования.