Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями

 

1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} не имеет корней?

Решение: преобразуем заданное уравнение: 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1}; 15·10 ^х + n· 10^{х + 1} = n + 20; 10 ^х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 ^х = .

Уравнение не будет иметь решений при  ≤ 0, поскольку 10 ^х всегда положительно.

Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем:  ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.

Ответ: .

 

2. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg² (1 + х²) + (3а – 2)· lg(1 + х²) + а² = 0 не имеет решений.

Решение: обозначим lg(1 + х²) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z² + (3а – 2) · z + а² = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)² – 4а² = 5а² – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а² – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.

Ответ: (0,4; 2).

3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.

Решение: преобразуем заданное уравнение:

cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin²х – asinx = 2a – 7; sin²х - asinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) ·  = 0.

Решение уравнения (sinх – 2) ·  = 0 дает:

(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.

sinх -  = 0; х = (-1)ⁿ arcsin  + πn, n  Z при  ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

 

4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х² - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).

Решение: корни заданного уравнения равны: х₁ =  (1+ )

х₂ = , при этом а ≤ .

По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3,

 - 1 < < 1  >  > - 3.

Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 <  < 3.

Неравенство - 3 <  выполняется при всех а ≤ , неравенство < 3 – при - 2 < а ≤ . Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; .

Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.

Ответ: 0.

 

5. При каких значениях параметра а число корней уравнения

² - х  = 0 равно а?

Решение: построим эскиз графика функции, у = ² - х  при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х² - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный – 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола

у = х² - 8х + 7 с минимумом у_мин равным - 9 при х _мин = 4, и корнями х₁ = 1 и х₂ = 7;

 

 

 

сплошными линиями изображена часть параболы у = ² – 8х +  (1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы

х² - 8х + 7 при 1 < х < 7.

(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).

Проводя горизонтали у = а, а  N, получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:

 

а	0	[1; 6]	7	8	9
к	4	8	7	6	4	2

 

Таким образом, а = k при а = 7.

Ответ: 7.

 

6. Указать значение параметра а, при котором уравнение

х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 4 = 0 имеет три различных корня.

                       Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.

Корни заданного уравнения равны:

х =  

Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) =  . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 > , имеем: (2а – 1) = (2а – 1)² = 17 – 4а

4а² – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.

Ответ: 2.

 

7. Указать целое значение параметра p, при котором уравнение

cosx – 2sinx =  +  имеет решение.

Решение: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0  р ≤ 2; объединяя допустимые значения параметра р, имеем:

0 ≤ р ≤ 2.

При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2 х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса).

При р = 1 исходное уравнение принимает вид:

cosx-2sinx =  +1.

Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет

 = (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при этом sinx =

sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , что меньше  +1.

Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.

При р = 2 исходное уравнение принимает вид

.

Максимальное значение разности  составляет  при х = arctg(- ) (при этом sinx =  , cosx = ). Поскольку >  +1, то уравнение  =  будет иметь решение.

Ответ: 2.

 

8. Определить число натуральных n, при которых уравнение  не имеет решения.

Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.

Уравнение х² – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + n(n-10) < 0  n² -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0  2 < n < 8.

В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.

Ответ: 6.

 

9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (0 < х < ) имеет решение.

Решение: по условию 1 > sinx > 0 1 < < + ,

1 > cosx > 0 1 < < + ,

Следовательно, 2 < а < + .

Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:

 = а²  = а²

 = а².

Введем переменную z = . Тогда исходное уравнение примет вид:

z² + 2z – а² = 0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его дискриминант

D = 1 + а²положителен при любом а.

Учитывая, что 2 < а < + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.

Ответ: 3.

Заключение

 

Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Уравнения с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями » и в какой-то мере получили новые.

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Используемая литература.

 

1. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г.

2. Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.

3. В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.

4. В.В.Ткачук «Математика – абитуриенту», 1994г.

5. Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.

7. В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.

8. «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.

9. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.

10. А.П. Карп «Даю уроки математики…», 1992 г.

11. В.В. Ткачук «Математика – абитуриенту», 1996 г.