Стереометрия (часть 2).

Планиметрия (часть 2).

П-2-1 Дан равносторонний треугольник АВС. Точки E и D принадлежат его сторонам АВ и АС соответственно. Известно, что АЕ=СD, а М - середина ED. Докажите, что BD:AM=2:1.

П-2-2 В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN, а из вершины D — высоты DP и DQ. Докажите, что точки M, N, P и Q являются вершинами прямоугольника.

П-2-3 В трапеции ABCD основание BC в два раза меньше основания AD. Из вершины D опущен перпендикуляр DE на сторону AB. Докажите, что CE = CD.

П-2-4 Точка K — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно так, что угол MKN — прямой. Докажите, что для любых точек M и N, удовлетворяющих условию задачи, из отрезков AM, BN и MN можно составить прямоугольный треугольник.

П-2-5 АМ – медиана треугольника АВС. К- лежит на АВ, отрезок СК пересекает данную медиану в точке N и AK=АN. Докажите, что ВК:NM=2:1.

П-2-6 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. На продолжении стороны АВ за точку В выбирается точка М, МС=МD. Докажите что .

Стереометрия (часть 1).

С-1-1 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF c вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания. Доказать , что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину С, делит ребро SB в отношении 1:3, считая от вершины В.

С-1-2 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L - середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен . Пусть О - центр основания пирамиды. На прямой SO ниже основания пирамиды выбирается точка М, что ОМ=АВ. Доказать, что прямые МА и LD перпендикулярны.

С-1-3 В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра равны 4, точка N -середина ребра АС, точка О - центр основания пирамиды, точка Р делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от S. Доказать, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

С-1-4 Дан куб ABCD . Доказать, что прямая  перпендикулярна плоскости .

С-1-5 Дан куб ABCD . Доказать, что прямая  перпендикулярна плоскости .

С-1-6 В правильной шестиугольной призме ABCDEF  все рёбра равны. Доказать ,что плоскости  и  перпендикулярны.

С-1-8 В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2 , SA=SC= , SB=7. Точка О - проекция вершины S на основание.  Доказать, что точка О лежит вне треугольника ABC.

С-1-9 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF c вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания. Доказать, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 2:1, считая от вершины S.

Стереометрия (часть 2).

С-2-1 В тетраэдре SABC боковые ребра равны (SA=SB=SC), а углы при вершине S: , . N-середина SC. Докажите, что плоскости ANB и ASN – перпендикулярны.

С-2-2 В треугольной пирамиде SABC, SC=SB, а угол при вершине S: . SH-высота, N-середина SC, K-середина SB, M- точка пересечения BN и CK. Докажите, что плоскости SMH и BSC – перпендикулярны.

С-2-3 В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка M – середина АВ, AN:NC=1:2, A₁K:KC₁=2:1. Докажите, что плоскость MNK проходит через точку В₁.

С-2-4 Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Точки M и K – середины ребер ED и CD соответственно. Докажите, что плоскости BCC₁ и MKD₁ перпендикулярны.

С-2-5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ точки N и K – середины ребер BC и A₁B₁ соответственно, BM:MB₁=4:3. Докажите, что точка Е принадлежит плоскости MKN.

С-2-6 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ точка K – середина ребера BC, BM:MB₁=4:3. Докажите, что середина ребра A₁B₁ принадлежит плоскости MKЕ.