Свойства неопределённого интеграла

Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

12. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

1. Метод введения нового аргумента. Если

то

где — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

то

3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая

где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то

21. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному понимаю определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Геометрический смысл. Определённый интеграл как площадь фигуры:

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

22. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ЭКОНОМИКЕ.

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур ,нахождением объемов тел и некоторыми приложениями в науке и технике. Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в ходе изучения определенного интеграла студент может наглядно познакомиться с методами решения экономических задач, связанных с анализом воздействия конкретных мер государственной политики на благосостояние потребителей и производителей продукции. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих приложение определенного интеграла для решения задач

такого типа.

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины , т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией y=f(x) , рассматривают её производную f´(x) .Например, если дана функция издержик С в зависимости от объема q выпускаемого товара С=С(q), о предельные издержки будут задаваться производной этой функции МС=С´(q). Её экономический смысл –это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.

Интересной иллюстрацией возможности применения интегралов для анализа социально- экономического строения общества является так называемая “диаграмма или кривая Джинна” распределения богатства в обществе. Рассмотрим функцию d(z) , которая сообщает , что z –я часть самых бедных людей общества владеет d(z)-й частью всего общественного богатства. Если бы распределение богатства было равномерным , то график функции d(z) шел бы по диагонали квадрата. Поэтому чем больше площади заштрихованной линзы ,тем неравномернее распределено богатство в

обществе. Величина этой площади называется также “коэффициентом Джинни” .Можно придумать много аналогичных характеристик; например ,для оценки распределения заработной платы в фирме или акций среди сотрудников и т.п. Соответствующие функции Джинни наверняка будут довольно сложными и без интегралов не обойтись.

Велика в экономике и роль средних величин. Напомним, что среднее значение величины x , изменяющейся во времени по закону x(t) на промежутке[a,b] ,есть [1/(b-a)]·∫x(t)dt. По своему смыслу среднее значение есть интегральная характеристика поведения величины “в целом”, на всем промежутке.

Примером использования интегрального исчисления в экономике, может служить, понятие излишек производителя(PS- producer surplus).Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой , которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия. Очевидно ,что PS=P*Q*-∫f(Q) dQ.

23. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы. В данной статье они рассматриваться не будут.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]» или двойными прямыми линиями "||…||").

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной (к примеру a₁₁ является элементом матрицы А).

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_ij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
С = А + В
c_ij = a_ij + b_ij
Аналогично определяется разность матриц.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что b_ij = k × a_ij.
В = k × A
b_ij = k × a_ij.
Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что
с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

24. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны).

Свойства определителей:

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

2. Если в определителе какие-либо две строки (столбца) равны между собой, то такой определитель равен 0.

3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

4. Если поменять в определителе местами какие-либо две строки (столбца), то определитель меняет знак.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, то такой определитель равен 0.

6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменяется.