Схема независимых испытаний Бернули. Полиномиальное распределение:

Свойство вероятности: 20 стр.

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. ,

Свойство 3. Для любого события . , т.к. , то  и следовательно .

Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:

Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей) .

Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то .

Свойство 7. Если  (А влечет В), то . , тогда

Свойство 8. Если , то . Тогда

Свойство 9. . , .

Свойство 10. Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то . Т.к. , то по свойству 6:

Условная вероятность, независимость:

Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). .

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

Формулы полной вероятности и Баеса: 23 стр.

Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

, или .

Так как события образуют полную группу, то можно записать .

Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i {1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей

Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

,

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности  называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.

схема независимых испытаний Бернули. Полиномиальное распределение:

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.

, , p+q=1.

Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания

независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным исходом будет являться:

(w1,w2,…,wn), .

Всего таких исходов 2n.

(1)

Формула (1) показывает, что события независимы.

Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие .

По теореме сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,

P(Ei)=pi, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:

где

Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.